Questão 144 — Uma fábrica utilizou uma impressora 3D para produzir o protótipo de uma peça. O protótipo tem forma de um poliedro convexo, obtido pela justaposição…

A questão aborda sólidos geométricos, especificamente a análise de faces de um poliedro formado pela justaposição de um prisma hexagonal regular reto e um tronco de pirâmide hexagonal reta, com a base maior do tronco coincidindo com uma das bases do prisma. O objetivo é determinar o número mínimo de cores necessárias para pintar todas as faces do protótipo, de modo que faces congruentes (iguais em forma e tamanho) recebam a mesma cor, e faces não congruentes recebam cores diferentes. Para resolver, é preciso identificar e classificar todas as faces do sólido composto, agrupando as congruentes e contando quantos tipos distintos existem. O prisma hexagonal possui duas bases hexagonais congruentes e seis faces laterais retangulares congruentes. O tronco de pirâmide hexagonal possui duas bases hexagonais (uma maior, que coincide com a base do prisma, e uma menor) e seis faces laterais trapezoidais congruentes. Ao unir os sólidos, a base coincidente não fica exposta. Assim, as faces expostas são: uma base hexagonal (menor, do tronco), seis retângulos (laterais do prisma), seis trapézios (laterais do tronco) e uma base hexagonal (do topo do prisma). No entanto, a base do topo do prisma e a base menor do tronco não são congruentes entre si, nem com as faces laterais. Portanto, temos quatro tipos de faces: base hexagonal maior (topo do prisma), base hexagonal menor (base do tronco), faces laterais retangulares (prisma) e faces laterais trapezoidais (tronco). Assim, são necessárias 4 cores.