O que é uma combinação simples na análise combinatória?

Combinação simples é o número de maneiras de escolher subconjuntos de k elementos de um conjunto de n elementos, sem se importar com a ordem, dado por $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Por que, ao colorir vagões numerados, a ordem dos vagões não importa para a combinação?

Porque a ordem dos vagões já está fixada pela numeração; o que importa é apenas quais vagões recebem cada cor.

Como calcular o número de maneiras de escolher 3 vagões azuis após já ter escolhido 4 vermelhos?

Após escolher 4 vermelhos, restam 8 vagões; o número de maneiras de escolher 3 azuis é $C_8^3$.

O que significa o produto de combinações em problemas sequenciais?

Significa que cada etapa de escolha é independente e sequencial, então multiplicamos as possibilidades de cada etapa para obter o total.

Quando se deve somar e quando se deve multiplicar em problemas de contagem?

Multiplica-se quando as escolhas são independentes e sequenciais; soma-se quando as escolhas são alternativas (ou uma, ou outra).

Qual a diferença entre permutação e combinação?

Permutação considera a ordem dos elementos; combinação não considera a ordem, apenas a seleção dos elementos.

Por que $C_2^2 = 1$ na última etapa do problema?

Porque, ao restarem apenas 2 vagões para serem amarelos, só existe uma maneira de escolhê-los, já que ambos devem ser amarelos.

Matemática e suas Tecnologias

Questão 171

ENEM 2019 Questão 171

Uma empresa confecciona e comercializa um brinquedo formado por uma locomotiva, pintada na cor preta, mais 12 vagões de iguais formato e tamanho, numerados de 1 a 12. Dos 12 vagões, 4 são pintados na cor vermelha, 3 na cor azul, 3 na cor verde e 2 na cor amarela. O trem é montado utilizando-se uma locomotiva e 12 vagões, ordenados crescentemente segundo suas numerações, conforme ilustrado na figura.

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De acordo com as possíveis variações nas colorações dos vagões, a quantidade de trens que podem ser montados, expressa por meio de combinações, é dada por

Resolução

A questão aborda análise combinatória, especificamente o conceito de combinação, para determinar de quantas formas diferentes é possível colorir os 12 vagões de um trem, respeitando a quantidade de cada cor disponível. O problema exige que os vagões sejam numerados de 1 a 12 (ordem fixa), e que, dentre eles, 4 sejam vermelhos, 3 azuis, 3 verdes e 2 amarelos. O raciocínio correto consiste em escolher, dentre os 12 vagões, quais receberão cada cor, sem repetição e sem importar a ordem dentro de cada grupo de cor (pois os vagões já estão ordenados). O passo a passo é: (1) escolher 4 dos 12 vagões para serem vermelhos ($C_{12}^4$); (2) dos 8 restantes, escolher 3 para serem azuis ($C_8^3$); (3) dos 5 restantes, escolher 3 para serem verdes ($C_5^3$); (4) os 2 restantes serão amarelos (só há uma possibilidade, $C_2^2$). Multiplicando todas as escolhas, temos o total de trens possíveis.

Comentários por alternativa

A C412 x C312 x C312 x C212

A alternativa A está errada porque repete o mesmo número de combinações ($C_{12}^4$) para todas as cores, ignorando que, após escolher os vagões de uma cor, o número de opções para as demais diminui.
B C412 + C38 + C35 + C22

A alternativa B está incorreta porque soma as combinações em vez de multiplicá-las. O correto é multiplicar, pois cada escolha é independente e sequencial.
C C412 x 2 x C38 x C25

A alternativa C erra ao multiplicar por 2 e ao usar $C_8^3$ e $C_5^2$, o que não corresponde à distribuição correta das cores nos vagões restantes.
D C412 + 2 + C312 + C312

A alternativa D soma os valores, o que não faz sentido no contexto de escolhas sequenciais e independentes. O correto é multiplicar as combinações.
E C412 x C38 x C35 x C22

A alternativa E está correta porque segue o raciocínio de escolha sequencial: primeiro os 4 vermelhos ($C_{12}^4$), depois 3 azuis dos 8 restantes ($C_8^3$), depois 3 verdes dos 5 restantes ($C_5^3$) e, finalmente, os 2 amarelos dos 2 restantes ($C_2^2$). Multiplicando todas essas escolhas, obtemos o número total de trens possíveis.

Flashcards

Perguntas pontuais sobre o tema desta questão. Toque no card para virar e use as setas para navegar.

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1. O que é uma combinação simples na análise combinatória?: Combinação simples é o número de maneiras de escolher subconjuntos de k elementos de um conjunto de n elementos, sem se importar com a ordem, dado por $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
2. Por que, ao colorir vagões numerados, a ordem dos vagões não importa para a combinação?: Porque a ordem dos vagões já está fixada pela numeração; o que importa é apenas quais vagões recebem cada cor.
3. Como calcular o número de maneiras de escolher 3 vagões azuis após já ter escolhido 4 vermelhos?: Após escolher 4 vermelhos, restam 8 vagões; o número de maneiras de escolher 3 azuis é $C_8^3$.
4. O que significa o produto de combinações em problemas sequenciais?: Significa que cada etapa de escolha é independente e sequencial, então multiplicamos as possibilidades de cada etapa para obter o total.
5. Quando se deve somar e quando se deve multiplicar em problemas de contagem?: Multiplica-se quando as escolhas são independentes e sequenciais; soma-se quando as escolhas são alternativas (ou uma, ou outra).
6. Qual a diferença entre permutação e combinação?: Permutação considera a ordem dos elementos; combinação não considera a ordem, apenas a seleção dos elementos.
7. Por que $C_2^2 = 1$ na última etapa do problema?: Porque, ao restarem apenas 2 vagões para serem amarelos, só existe uma maneira de escolhê-los, já que ambos devem ser amarelos.