Qual é a fórmula do volume de um cone circular reto?

O volume de um cone circular reto é dado por $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$.

Como o volume de um cone varia em relação ao raio da base, mantendo a altura constante?

O volume varia com o quadrado do raio, pois $V \propto r^2$ se a altura for fixa.

O que significa reduzir o volume em 19%?

Significa que o novo volume será 81% do volume original, ou seja, $V_{novo} = 0,81 V_{original}$.

Como encontrar o novo raio se o volume do cone é reduzido e a altura permanece igual?

Iguale as fórmulas dos volumes e isole $r$, levando em conta a proporção do novo volume em relação ao original.

Por que é necessário extrair a raiz quadrada ao calcular o novo raio?

Porque o volume depende do raio ao quadrado, então para encontrar o novo raio, calcula-se $r = \sqrt{\text{proporção} \times r_{original}^2}$.

Se o raio do cone dobra, o que acontece com o volume, mantendo a altura?

O volume quadruplica, pois depende do raio ao quadrado: $V \propto r^2$.

Qual é o efeito de manter a altura e diminuir apenas o raio na geometria do cone?

O cone fica mais 'fino', e seu volume diminui proporcionalmente ao quadrado do novo raio.

Matemática e suas Tecnologias

Questão 153 — Uma empresa produz e vende um tipo de chocolate, maciço, em formato de cone circular reto com as medidas do diâmetro da base e da altura iguais a 8 c…

ENEM 2022 Questão 153

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Uma empresa produz e vende um tipo de chocolate, maciço, em formato de cone circular reto com as medidas do diâmetro da base e da altura iguais a 8 cm e 10 cm, respectivamente, como apresenta a figura. Devido a um aumento de preço dos ingredientes utilizados na produção desse chocolate, a empresa decide produzir esse mesmo tipo de chocolate com um volume 19% menor, no mesmo formato de cone circular reto com altura de 10 cm.

Para isso, a empresa produzirá esses novos chocolates com medida do raio da base, em centímetro, igual a

Resolução

Resposta correta: Letra C — 3,60.

A questão envolve geometria espacial, mais especificamente o cálculo do volume de um cone. Inicialmente, temos um cone com altura de 10 cm e diâmetro da base de 8 cm (logo, raio de 4 cm). O volume de um cone é dado por $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$. A empresa deseja reduzir o volume em 19%, mantendo a altura igual (10 cm), e quer saber qual deve ser o novo raio da base. Primeiro, calcula-se o volume original: $V_1 = \frac{1}{3} \pi (4)^2 (10) = \frac{1}{3} \pi (16)(10) = \frac{160}{3} \pi$. O novo volume será 81% do original (100% - 19% = 81%), ou seja, $V_2 = 0,81 V_1$. Como a altura permanece 10 cm, monta-se a equação do novo volume: $V_2 = \frac{1}{3} \pi r^2 (10)$. Igualando os volumes: $\frac{1}{3} \pi r^2 (10) = 0,81 \times \frac{160}{3} \pi$. Simplificando, $r^2 = 0,81 \times 16 = 12,96$, então $r = \sqrt{12,96} = 3,6$ cm. Portanto, a alternativa correta é a C.

Comentários por alternativa

A 1,52.

A alternativa A (1,52 cm) está incorreta, pois resulta de um erro de cálculo ao reduzir o raio em vez do volume proporcionalmente.
B 3,24.

A alternativa B (3,24 cm) está errada, provavelmente por erro na aplicação da porcentagem ou na extração da raiz quadrada.
C 3,60.

A alternativa C (3,60 cm) está correta. O cálculo mostra que, para reduzir o volume em 19% mantendo a altura, o novo raio deve ser $\sqrt{0,81} \times 4 = 3,6$ cm.
D 6,48.

A alternativa D (6,48 cm) está errada, pois representa um raio maior que o original, o que aumentaria o volume, não diminuiria.
E 7,20.

A alternativa E (7,20 cm) está incorreta, pois sugere um raio quase o dobro do original, o que aumentaria muito o volume, em vez de reduzi-lo.

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1. Qual é a fórmula do volume de um cone circular reto?: O volume de um cone circular reto é dado por $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$.
2. Como o volume de um cone varia em relação ao raio da base, mantendo a altura constante?: O volume varia com o quadrado do raio, pois $V \propto r^2$ se a altura for fixa.
3. O que significa reduzir o volume em 19%?: Significa que o novo volume será 81% do volume original, ou seja, $V_{novo} = 0,81 V_{original}$.
4. Como encontrar o novo raio se o volume do cone é reduzido e a altura permanece igual?: Iguale as fórmulas dos volumes e isole $r$, levando em conta a proporção do novo volume em relação ao original.
5. Por que é necessário extrair a raiz quadrada ao calcular o novo raio?: Porque o volume depende do raio ao quadrado, então para encontrar o novo raio, calcula-se $r = \sqrt{\text{proporção} \times r_{original}^2}$.
6. Se o raio do cone dobra, o que acontece com o volume, mantendo a altura?: O volume quadruplica, pois depende do raio ao quadrado: $V \propto r^2$.
7. Qual é o efeito de manter a altura e diminuir apenas o raio na geometria do cone?: O cone fica mais 'fino', e seu volume diminui proporcionalmente ao quadrado do novo raio.

Questão 153 — Uma empresa produz e vende um tipo de chocolate, maciço, em formato de cone circular reto com as medidas do diâmetro da base e da altura iguais a 8 c…

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