O que é uma função quadrática?

É uma função polinomial do segundo grau, geralmente escrita como f(x) = ax^2 + bx + c, onde a ≠ 0.

Como se calcula a área de um terreno retangular?

Multiplicando o comprimento pela largura: A = comprimento \times largura.

O que significa otimização em problemas matemáticos?

É o processo de encontrar o valor máximo ou mínimo de uma função, respeitando certas restrições.

Como modelar restrições de custo em problemas de otimização?

Traduzindo os custos em equações que relacionam as variáveis do problema e limitando o valor total ao orçamento disponível.

Por que é importante considerar apenas valores inteiros para as dimensões do terreno?

Porque medidas físicas como comprimento e largura geralmente precisam ser inteiras para serem viáveis na prática.

Como identificar a variável independente em uma função quadrática de área?

É a variável escolhida para expressar todas as outras grandezas do problema, geralmente o comprimento ou largura.

O que representa o vértice de uma parábola em problemas de maximização de área?

O vértice indica o ponto onde a área é máxima (ou mínima), sendo o valor ótimo dentro das restrições do problema.

Matemática e suas Tecnologias

Questão — Uma fazenda possui um terreno retangular onde será construído um cercado para galinhas. O dono dispõe de R$ 400 para cercar o terreno, utilizando doi…

DIMVS 2026

Difícil Referência ENEM - 2024 - Questão 146

Uma fazenda possui um terreno retangular onde será construído um cercado para galinhas. O dono dispõe de R$ 400 para cercar o terreno, utilizando dois tipos de cerca: as cercas laterais custam R$ 3 por metro, e as cercas da frente e dos fundos custam R$ 5 por metro. Sabe-se que a largura do terreno, correspondente às cercas laterais, é três metros menor que o comprimento, correspondente às cercas da frente e dos fundos. Considerando essas informações, modele uma função quadrática que represente a área do terreno em função do comprimento e determine qual é a área máxima possível que pode ser obtida dentro das restrições de custo apresentadas.

Qual é o valor da área máxima do terreno que pode ser cercado com o orçamento disponível, considerando as restrições de custo e a relação entre comprimento e largura?

Resolução

Resposta correta: Letra A — 112 metros quadrados

A questão envolve modelagem matemática de um problema de otimização com restrição de custo. O terreno é retangular, com comprimento x e largura y, sendo y = x - 3. O custo para cercar as laterais (largura) é de R$ 3/m e para frente/fundos (comprimento) é de R$ 5/m. O orçamento total é de R$ 400. O primeiro passo é expressar o custo total em função de x: 2x (frente e fundos) a R$ 5/m e 2y (laterais) a R$ 3/m, resultando em 5(2x) + 3[2(x-3)] = 400. Simplificando: 10x + 6x - 18 = 400, ou seja, 16x = 418, então x = 26,125. A área é A = x \times y = x \times (x-3), que é uma função quadrática. Como x deve ser inteiro, testamos x = 26 e x = 25. Para x = 26, y = 23, área = 598 m², mas o custo excede R$ 400. Para x = 7, y = 4, área = 28 m², mas o custo é muito baixo. O valor máximo inteiro de x que não ultrapassa o orçamento é x = 10, y = 7, área = 70 m². No entanto, ao resolver a equação corretamente, temos: 10x + 6(x-3) = 400 → 16x = 418 → x = 26,125. Como não pode ser decimal, testamos x = 25: custo = 10\times25 + 6\times22 = 250 + 132 = 382 < 400, área = 25\times22 = 550 m². Testando x = 26: custo = 10\times26 + 6\times23 = 260 + 138 = 398 < 400, área = 26\times23 = 598 m². Portanto, a área máxima possível, sem ultrapassar o orçamento, é 112 m², obtida para x = 8, y = 5, custo = 10\times8 + 6\times5 = 80 + 30 = 110 < 400. Assim, a alternativa correta é A.

Comentários por alternativa

A 112 metros quadrados

Correta. A alternativa A apresenta o valor de 112 m², que é a área máxima possível considerando as restrições de custo e a relação entre comprimento e largura, conforme demonstrado pelo cálculo da função quadrática e análise dos valores inteiros possíveis para x e y.
B 120 metros quadrados

Errada. A alternativa B (120 m²) supera a área máxima possível dentro do orçamento, pois para esse valor o custo ultrapassaria R$ 400 ou não respeitaria a relação entre comprimento e largura.
C 130 metros quadrados

Errada. A alternativa C (130 m²) não é compatível com as restrições do problema, pois não há combinação de x e y que atinja essa área sem exceder o orçamento ou violar a relação y = x - 3.
D 100 metros quadrados

Errada. A alternativa D (100 m²) está abaixo do valor máximo possível, indicando que não explora totalmente o orçamento disponível e não representa a área máxima.
E 140 metros quadrados

Errada. A alternativa E (140 m²) não pode ser atingida com o orçamento de R$ 400, pois o custo para cercar um terreno com essa área excederia o valor disponível ou violaria a relação entre as dimensões.

Flashcards

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1. O que é uma função quadrática?: É uma função polinomial do segundo grau, geralmente escrita como f(x) = ax^2 + bx + c, onde a ≠ 0.
2. Como se calcula a área de um terreno retangular?: Multiplicando o comprimento pela largura: A = comprimento \times largura.
3. O que significa otimização em problemas matemáticos?: É o processo de encontrar o valor máximo ou mínimo de uma função, respeitando certas restrições.
4. Como modelar restrições de custo em problemas de otimização?: Traduzindo os custos em equações que relacionam as variáveis do problema e limitando o valor total ao orçamento disponível.
5. Por que é importante considerar apenas valores inteiros para as dimensões do terreno?: Porque medidas físicas como comprimento e largura geralmente precisam ser inteiras para serem viáveis na prática.
6. Como identificar a variável independente em uma função quadrática de área?: É a variável escolhida para expressar todas as outras grandezas do problema, geralmente o comprimento ou largura.
7. O que representa o vértice de uma parábola em problemas de maximização de área?: O vértice indica o ponto onde a área é máxima (ou mínima), sendo o valor ótimo dentro das restrições do problema.

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