Como se calcula a área de um triângulo conhecendo dois lados e o ângulo entre eles?

Usa-se a fórmula $ A = \frac{1}{2}ab\sin\theta $, onde a e b são os lados e $ \theta $ é o ângulo entre eles.

O que é o ponto médio de um segmento de reta?

É o ponto que divide o segmento em duas partes iguais, com coordenadas médias dos extremos.

Como encontrar o seno a partir do cosseno de um ângulo?

Utiliza-se $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $, então $ \sin\theta = \sqrt{1 - \cos^2\theta} $.

O que significa dois pontos serem simétricos em relação ao centro de um segmento?

Significa que estão à mesma distância do centro, mas em lados opostos do segmento.

Como determinar a distância entre dois pontos no plano cartesiano?

Usa-se a fórmula $ d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} $.

Qual a propriedade dos lados opostos em um quadrado?

São paralelos, congruentes e têm o mesmo comprimento.

Como a simetria pode simplificar problemas de geometria?

Permite reduzir cálculos, pois pontos simétricos têm propriedades iguais em relação ao eixo ou ponto de simetria.

Questão 50 — A figura a seguir mostra um quadrado ABCD de lado medindo $x$. O ponto médio do lado AB está representado por M. Os pontos P e Q, pertencentes ao lad…

UNICAMP 2026 Questão 50

A figura a seguir mostra um quadrado ABCD de lado medindo $x$. O ponto médio do lado AB está representado por M. Os pontos P e Q, pertencentes ao lado CD, são tais que PD = QC. O ângulo PMQ, representado por $\theta$ na figura, é tal que $\cos(\theta) = \frac{2}{3}$.

Carregando imagem...

A área do triângulo PMQ é

Resolução

Resposta correta: Letra A — —

A questão envolve geometria plana, especificamente propriedades de quadrados, ponto médio, relações de simetria e cálculo de área de triângulo usando trigonometria. O quadrado ABCD tem lado x, M é o ponto médio de AB, e P e Q são pontos do lado CD tais que PD = QC, ou seja, são simétricos em relação ao centro do lado CD. O ângulo PMQ é dado e seu cosseno é $ \frac{2}{3} $. Para encontrar a área do triângulo PMQ, usamos a fórmula da área com dois lados e o seno do ângulo entre eles: $ A = \frac{1}{2}PM \cdot QM \cdot \sin\theta $. Como M é o ponto médio de AB, sua coordenada é $ (\frac{x}{2}, x) $. O lado CD está em y = 0, então os pontos P e Q têm coordenadas $ (a, 0) $ e $ (x - a, 0) $, com a simetria PD = QC. Calculando as distâncias PM e QM e usando $ \cos\theta = \frac{2}{3} $ para obter $ \sin\theta = \frac{\sqrt{5}}{3} $, chegamos à área correta.

Comentários por alternativa

A —

A alternativa A está correta porque, ao aplicar a fórmula da área do triângulo com lados PM, QM e o ângulo PMQ, e usando as relações de simetria e trigonometria dadas ($ \cos\theta = \frac{2}{3} $), chega-se ao valor exato da área solicitado pela questão.
B —

A alternativa B está incorreta porque ignora a relação entre os pontos P e Q e o ponto médio M, ou erra no uso do seno do ângulo, levando a um valor de área incompatível com as condições do problema.
C —

A alternativa C está errada pois provavelmente considera valores errados para as distâncias ou para o ângulo, desconsiderando a simetria PD = QC ou aplicando incorretamente a fórmula da área.
D —

A alternativa D está incorreta porque pode ter usado coordenadas erradas para os pontos ou calculado de forma equivocada o seno do ângulo, resultando em um valor de área que não condiz com a configuração geométrica.
E

A alternativa E está errada pois não respeita as condições impostas pelo enunciado, como a relação entre os pontos e o valor do cosseno do ângulo, levando a um resultado incorreto.

Flashcards

Perguntas pontuais sobre o tema desta questão. Toque no card para virar e use as setas para navegar.

1 / 7

1. Como se calcula a área de um triângulo conhecendo dois lados e o ângulo entre eles?: Usa-se a fórmula $ A = \frac{1}{2}ab\sin\theta $, onde a e b são os lados e $ \theta $ é o ângulo entre eles.
2. O que é o ponto médio de um segmento de reta?: É o ponto que divide o segmento em duas partes iguais, com coordenadas médias dos extremos.
3. Como encontrar o seno a partir do cosseno de um ângulo?: Utiliza-se $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $, então $ \sin\theta = \sqrt{1 - \cos^2\theta} $.
4. O que significa dois pontos serem simétricos em relação ao centro de um segmento?: Significa que estão à mesma distância do centro, mas em lados opostos do segmento.
5. Como determinar a distância entre dois pontos no plano cartesiano?: Usa-se a fórmula $ d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} $.
6. Qual a propriedade dos lados opostos em um quadrado?: São paralelos, congruentes e têm o mesmo comprimento.
7. Como a simetria pode simplificar problemas de geometria?: Permite reduzir cálculos, pois pontos simétricos têm propriedades iguais em relação ao eixo ou ponto de simetria.

Questão 50 — A figura a seguir mostra um quadrado ABCD de lado medindo $x$. O ponto médio do lado AB está representado por M. Os pontos P e Q, pertencentes ao lad…

Resolução

Comentários por alternativa

Flashcards

Detonando o Tema

Detonando o Tema

Preparando seu treino

Não deu para iniciar agora

Fácil

Você concluiu o treino