O que é uma progressão aritmética (PA)?

É uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado a uma constante chamada razão.

Como se calcula o termo geral de uma PA?

O termo geral é dado por $a_n = a_1 + (n-1)r$, onde $a_1$ é o primeiro termo, $r$ é a razão e $n$ é a posição do termo.

Como determinar o número de termos de uma PA dados o primeiro e o último termo e a razão?

Usa-se a fórmula $n = \frac{a_n - a_1}{r} + 1$.

Qual a importância de identificar a razão em uma PA?

A razão determina o intervalo fixo entre os termos, essencial para calcular posições ou quantidades em problemas sequenciais.

Como se calcula o custo total em problemas envolvendo quantidade e valor unitário?

Multiplica-se a quantidade total de itens pelo valor unitário de cada um.

Por que o primeiro poste não está na posição zero neste problema?

Porque a praça já está iluminada, então o primeiro poste novo é colocado a 80 m da praça, não no início da estrada.

O que pode causar erro ao contar elementos em uma PA?

Erros comuns incluem esquecer de somar 1 ao dividir pela razão ou confundir o termo inicial com a posição zero.

Matemática e suas Tecnologias

Questão 141

ENEM 2018 Questão 141

A prefeitura de um pequeno município do interior decide colocar postes para iluminação ao longo de uma estrada retilínea, que inicia em uma praça central e termina numa fazenda na zona rural. Como a praça já possui iluminação, o primeiro poste será colocado a 80 metros da praça, o segundo, a 100 metros, o terceiro, a 120 metros, e assim sucessivamente, mantendo-se sempre uma distância de vinte metros entre os postes, até que o último poste seja colocado a uma distância de 1 380 metros da praça.

Se a prefeitura pode pagar, no máximo, R$ 8 000,00 por poste colocado, o maior valor que poderá gastar com a colocação desses postes é

Resolução

A questão aborda progressão aritmética (PA) para determinar quantos postes serão colocados ao longo de uma estrada, sabendo que o primeiro está a 80 m da praça e o último a 1.380 m, com espaçamento de 20 m entre eles. O aluno deve identificar que as posições dos postes formam uma PA de termo inicial 80, razão 20 e termo final 1.380. Calcula-se o número de postes usando a fórmula do termo geral da PA: $a_n = a_1 + (n-1)r$. Depois, multiplica-se a quantidade de postes pelo valor máximo por poste (R$ 8.000,00) para obter o gasto máximo. O raciocínio envolve identificar a PA, calcular o número de termos e aplicar a multiplicação final.

Comentários por alternativa

A R$512 000,00.

A alternativa A está incorreta porque subestima o número de postes, levando a um valor total menor que o correto.
B R$520 000,00.

A alternativa B também subestima o valor total, provavelmente por erro no cálculo do número de postes ou arredondamento inadequado.
C R$528 000,00.

A alternativa C está correta porque, ao calcular corretamente o número de postes (66) e multiplicar por R$ 8.000,00, chega-se ao valor de R$ 528.000,00.
D R$552 000,00.

A alternativa D está incorreta, pois superestima o valor, sugerindo um número de postes maior do que o real.
E R$584 000,00.

A alternativa E está errada porque considera um valor ainda mais alto, acima do possível, indicando erro no cálculo da quantidade de postes.

Flashcards

Perguntas pontuais sobre o tema desta questão. Toque no card para virar e use as setas para navegar.

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1. O que é uma progressão aritmética (PA)?: É uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado a uma constante chamada razão.
2. Como se calcula o termo geral de uma PA?: O termo geral é dado por $a_n = a_1 + (n-1)r$, onde $a_1$ é o primeiro termo, $r$ é a razão e $n$ é a posição do termo.
3. Como determinar o número de termos de uma PA dados o primeiro e o último termo e a razão?: Usa-se a fórmula $n = \frac{a_n - a_1}{r} + 1$.
4. Qual a importância de identificar a razão em uma PA?: A razão determina o intervalo fixo entre os termos, essencial para calcular posições ou quantidades em problemas sequenciais.
5. Como se calcula o custo total em problemas envolvendo quantidade e valor unitário?: Multiplica-se a quantidade total de itens pelo valor unitário de cada um.
6. Por que o primeiro poste não está na posição zero neste problema?: Porque a praça já está iluminada, então o primeiro poste novo é colocado a 80 m da praça, não no início da estrada.
7. O que pode causar erro ao contar elementos em uma PA?: Erros comuns incluem esquecer de somar 1 ao dividir pela razão ou confundir o termo inicial com a posição zero.