O que diz a identidade fundamental da trigonometria?

A identidade fundamental afirma que $\sen^2(x) + \cos^2(x) = 1$ para todo $x$ real.

Como calcular o seno do arco metade?

Utiliza-se a fórmula $\sen\left(\frac{x}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos(x)}{2}}$, escolhendo o sinal conforme o quadrante.

Como transformar $\frac{\pi}{12}$ em função de arcos notáveis?

$\frac{\pi}{12}$ é metade de $\frac{\pi}{6}$, ou seja, $\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{6} / 2$.

Quando usar o sinal positivo ou negativo na fórmula do arco metade?

O sinal depende do quadrante em que o ângulo está; para $0 < x < \pi$, o seno é positivo.

Qual a expressão final de $\sen\left(\frac{\pi}{12}\right)$ em termos de radicais?

$\sen\left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$.

Para que servem as identidades trigonométricas nas provas de vestibular?

Elas permitem calcular valores exatos de funções trigonométricas em arcos não notáveis e resolver questões de geometria e análise de funções.

Questão 50 — As funções trigonométricas $\cos(x)$ e $\sen(x)$ são muito estudadas no Ensino Médio. A exposição deste importante conteúdo costuma contar, nas aulas…

Q: Qual o valor de $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)$?

$\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Q: Qual a expressão final de $\sen\left(\frac{\pi}{12}\right)$ em termos de radicais?

$\sen\left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$.

Q: Para que servem as identidades trigonométricas nas provas de vestibular?

Elas permitem calcular valores exatos de funções trigonométricas em arcos não notáveis e resolver questões de geometria e análise de funções.

UNICAMP 2025 Questão 50

Fácil

As funções trigonométricas $\cos(x)$ e $\sen(x)$ são muito estudadas no Ensino Médio. A exposição deste importante conteúdo costuma contar, nas aulas, com a apresentação de gráficos e tabelas que expõem em arcos – chamados “arcos notáveis”, como por exemplo $\frac{\pi}{3}$, $\frac{\pi}{4}$ e $\frac{\pi}{6}$ – os valores dessas funções. É possível, no entanto, calcular, em outros arcos, os valores destas funções, utilizando algumas identidades trigonométricas. Considerando a relação $\cos\left(\frac{x}{2}\right) =$ e a identidade fundamental da trigonometria, é possível afirmar que o valor de $\sen\left(\frac{\pi}{12}\right)$ é

Resolução

Resposta correta: Letra A — —

A questão aborda o cálculo do valor de $\sen\left(\frac{\pi}{12}\right)$ utilizando identidades trigonométricas, especialmente a relação do cosseno do arco metade e a identidade fundamental $\sen^2(x) + \cos^2(x) = 1$. O enunciado sugere o uso da fórmula do cosseno do arco metade: $\cos\left(\frac{x}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos(x)}{2}}$. Para encontrar $\sen\left(\frac{\pi}{12}\right)$, note que $\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{6} / 2$, então podemos usar a fórmula do seno do arco metade: $\sen\left(\frac{x}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos(x)}{2}}$. Como $\sen\left(\frac{\pi}{12}\right) = \sen\left(\frac{\pi}{6}/2\right)$, basta calcular $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ e substituir na fórmula: $\sen\left(\frac{\pi}{12}\right) = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$. Portanto, a alternativa correta é a que apresenta esse valor.

Comentários por alternativa

A —

A alternativa A está correta porque apresenta a resposta $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$, que é o valor exato de $\sen\left(\frac{\pi}{12}\right)$ calculado pela fórmula do seno do arco metade.
B —

A alternativa B está incorreta, pois apresenta um valor diferente do resultado obtido pela aplicação correta das identidades trigonométricas.
C —

A alternativa C está errada, pois não corresponde ao valor exato de $\sen\left(\frac{\pi}{12}\right)$; provavelmente utiliza uma identidade inadequada ou erro de cálculo.
D —

A alternativa D está incorreta, pois não representa o valor correto do seno para esse arco, indicando confusão entre as fórmulas ou arcos notáveis.
E

A alternativa E está errada, pois não apresenta o valor correto de $\sen\left(\frac{\pi}{12}\right)$, mostrando erro conceitual ou de manipulação algébrica.

Flashcards

Perguntas pontuais sobre o tema desta questão. Toque no card para virar e use as setas para navegar.

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1. O que diz a identidade fundamental da trigonometria?: A identidade fundamental afirma que $\sen^2(x) + \cos^2(x) = 1$ para todo $x$ real.
2. Como calcular o seno do arco metade?: Utiliza-se a fórmula $\sen\left(\frac{x}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos(x)}{2}}$, escolhendo o sinal conforme o quadrante.
3. Qual o valor de $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)$?: $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
4. Como transformar $\frac{\pi}{12}$ em função de arcos notáveis?: $\frac{\pi}{12}$ é metade de $\frac{\pi}{6}$, ou seja, $\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{6} / 2$.
5. Quando usar o sinal positivo ou negativo na fórmula do arco metade?: O sinal depende do quadrante em que o ângulo está; para $0 < x < \pi$, o seno é positivo.
6. Qual a expressão final de $\sen\left(\frac{\pi}{12}\right)$ em termos de radicais?: $\sen\left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$.
7. Para que servem as identidades trigonométricas nas provas de vestibular?: Elas permitem calcular valores exatos de funções trigonométricas em arcos não notáveis e resolver questões de geometria e análise de funções.

Questão 50 — As funções trigonométricas $\cos(x)$ e $\sen(x)$ são muito estudadas no Ensino Médio. A exposição deste importante conteúdo costuma contar, nas aulas…

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