O que é uma combinação simples em análise combinatória?

É uma seleção de elementos de um conjunto, sem considerar a ordem, dada por C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}.

Quando usamos combinação e não permutação?

Usamos combinação quando a ordem dos elementos não importa, como ao formar pares ou grupos.

Qual a diferença entre combinação e arranjo?

Na combinação a ordem não importa, já no arranjo a ordem dos elementos é relevante.

Como calcular o número de partidas em um torneio todos-contra-todos?

Calcula-se o número de combinações de 2 jogadores entre n: C(n,2) = \frac{n(n-1)}{2}.

O que representa o fatorial (n!) em matemática?

O fatorial de n é o produto de todos os inteiros positivos de 1 até n.

Por que não consideramos partidas de um jogador contra si mesmo?

Porque em competições, partidas entre o mesmo jogador não existem; só valem pares distintos.

Como generalizar o cálculo para qualquer número de jogadores?

Para n jogadores, o número de partidas é sempre C(n,2) = \frac{n(n-1)}{2}.

Matemática e suas Tecnologias

Questão 178

ENEM 2017 Questão 178

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Se a quantidade de jogadores for 8, quantas partidas serão realizadas?

Resolução

Resposta correta: Letra E — 28

A questão trata de um problema clássico de análise combinatória: calcular o número de partidas em um torneio onde todos jogam contra todos, com 8 jogadores. O conceito central é o de combinação simples, pois cada partida envolve dois jogadores distintos, e a ordem não importa. O número de partidas é dado por C(8,2), ou seja, o número de maneiras de escolher 2 jogadores entre 8. A fórmula de combinação é: C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}. Aplicando: C(8,2) = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \times 7}{2} = 28. Portanto, a alternativa correta é E.

Comentários por alternativa

A 64

A alternativa A (64) corresponde ao número total de pares ordenados possíveis (8 x 8), incluindo partidas de um jogador contra si mesmo e partidas repetidas em ordem inversa, o que não faz sentido nesse contexto.
B 56

A alternativa B (56) pode confundir quem calcula 8 x 7, esquecendo de dividir por 2 para eliminar as duplicatas (A vs B e B vs A).
C 49

A alternativa C (49) é o quadrado de 7, sem relação direta com o problema; pode ser um erro de distração.
D 36

A alternativa D (36) pode ser resultado de um cálculo incorreto, talvez confundindo com combinação de 9 jogadores (C(9,2) = 36).
E 28

A alternativa E (28) está correta, pois utiliza a combinação simples para pares de jogadores: C(8,2) = $\frac{8 \times 7}{2} = 28$ partidas.

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1. O que é uma combinação simples em análise combinatória?: É uma seleção de elementos de um conjunto, sem considerar a ordem, dada por C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}.
2. Quando usamos combinação e não permutação?: Usamos combinação quando a ordem dos elementos não importa, como ao formar pares ou grupos.
3. Qual a diferença entre combinação e arranjo?: Na combinação a ordem não importa, já no arranjo a ordem dos elementos é relevante.
4. Como calcular o número de partidas em um torneio todos-contra-todos?: Calcula-se o número de combinações de 2 jogadores entre n: C(n,2) = \frac{n(n-1)}{2}.
5. O que representa o fatorial (n!) em matemática?: O fatorial de n é o produto de todos os inteiros positivos de 1 até n.
6. Por que não consideramos partidas de um jogador contra si mesmo?: Porque em competições, partidas entre o mesmo jogador não existem; só valem pares distintos.
7. Como generalizar o cálculo para qualquer número de jogadores?: Para n jogadores, o número de partidas é sempre C(n,2) = \frac{n(n-1)}{2}.

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