O que significa dizer que uma grandeza é inversamente proporcional a outra?

Significa que quando uma grandeza aumenta, a outra diminui na mesma proporção, de modo que seu produto é constante: $y = \frac{k}{x}$.

Como se comporta graficamente uma função inversa $y = \frac{k}{x}$?

O gráfico é uma hipérbole, decrescente para $x > 0$, aproximando-se do eixo $x$ mas nunca tocando-o.

O que caracteriza uma função linear?

Uma função linear tem a forma $y = ax + b$, com taxa de variação constante (inclinação fixa).

O que ocorre com a função inversa se o denominador cresce mais lentamente após certo ponto?

Se o denominador cresce mais devagar, a função inversa diminui mais lentamente ou pode até aumentar, dependendo da taxa de crescimento.

O que é um ponto crítico em um gráfico de função?

É um ponto onde ocorre mudança significativa no comportamento da função, como alteração de inclinação ou concavidade.

Qual a relação entre taxa de variação de II e comportamento de III nesse contexto?

Quando II cresce rapidamente, III diminui rapidamente; quando II cresce devagar, III diminui devagar ou pode aumentar.

Por que III pode aumentar após o ponto crítico de I?

Porque a desaceleração do crescimento de II faz com que a razão inversa (III) pare de diminuir e possa até crescer levemente.

Matemática e suas Tecnologias

Questão — Em uma fábrica, três variáveis relacionadas às operações de produção são representadas por grandezas I, II e III. A grandeza II varia linearmente com…

DIMVS 2026

Difícil Referência ENEM - 2024 - Questão 141

Em uma fábrica, três variáveis relacionadas às operações de produção são representadas por grandezas I, II e III. A grandeza II varia linearmente com a grandeza I conforme um gráfico que inicialmente mostra aumento constante, mas ao atingir um determinado ponto crítico, a inclinação da reta diminui, indicando uma redução no ritmo de aumento. Por outro lado, a grandeza III é inversamente proporcional à grandeza II, formando um gráfico de decaimento quando II aumenta. Considerando essas relações, analise como se comporta a grandeza III à medida que a grandeza I cresce até atingir seu valor máximo no domínio apresentado, incluindo os efeitos do ponto crítico na variação da grandeza II.

Com base nessa análise, qual é a tendência geral da grandeza III ao atingir a grandeza I seu valor máximo, considerando as mudanças no ritmo de crescimento da grandeza II e sua relação inversa com a grandeza III?

Resolução

Resposta correta: Letra D — A grandeza III diminui até o ponto crítico de I, mas depois apresenta um leve aumento até o valor máximo de I.

A questão aborda a análise de relações funcionais entre três grandezas em um contexto de produção industrial. A grandeza II varia linearmente com I, mas com uma mudança de inclinação (ponto crítico), indicando que o crescimento de II desacelera após certo valor de I. Já a grandeza III é inversamente proporcional à II, ou seja, III = k/II, com k constante. Inicialmente, à medida que I cresce, II cresce rapidamente e III diminui, pois o denominador aumenta. Após o ponto crítico, II ainda cresce, mas mais devagar, então III diminui mais lentamente ou até pode aumentar levemente, já que o crescimento de II não é mais tão significativo. Portanto, III diminui até o ponto crítico de I, mas depois, devido à redução do ritmo de crescimento de II, III pode apresentar um leve aumento até o valor máximo de I. Esse comportamento é típico de funções inversamente proporcionais a uma função que muda seu ritmo de crescimento.

Comentários por alternativa

A A grandeza III diminui até um valor mínimo e depois se estabiliza próximo a zero.

Errada. A alternativa A sugere que III se estabiliza próximo de zero, mas como o crescimento de II desacelera após o ponto crítico, III pode até aumentar levemente, não permanecendo próximo de zero.
B A grandeza III aumenta progressivamente até um valor máximo no ponto crítico de I.

Errada. A alternativa B afirma que III aumenta até o ponto crítico, mas na verdade III diminui até esse ponto, pois II está aumentando e III é inversamente proporcional a II.
C A grandeza III mantém um valor constante enquanto I cresce, independente das variações em II.

Errada. A alternativa C ignora a relação inversa entre II e III, além das variações de II com I. III não permanece constante, pois depende diretamente de II.
D A grandeza III diminui até o ponto crítico de I, mas depois apresenta um leve aumento até o valor máximo de I.

Correta. A alternativa D descreve corretamente que III diminui enquanto II cresce rapidamente (até o ponto crítico de I) e, após o ponto crítico, como o crescimento de II desacelera, III pode apresentar um leve aumento até o valor máximo de I.
E A grandeza III aumenta até o ponto crítico de I e depois diminui até o valor máximo de I.

Errada. A alternativa E inverte a ordem dos comportamentos: III não aumenta até o ponto crítico, mas sim diminui, pois II está crescendo nesse intervalo.

Flashcards

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1. O que significa dizer que uma grandeza é inversamente proporcional a outra?: Significa que quando uma grandeza aumenta, a outra diminui na mesma proporção, de modo que seu produto é constante: $y = \frac{k}{x}$.
2. Como se comporta graficamente uma função inversa $y = \frac{k}{x}$?: O gráfico é uma hipérbole, decrescente para $x > 0$, aproximando-se do eixo $x$ mas nunca tocando-o.
3. O que caracteriza uma função linear?: Uma função linear tem a forma $y = ax + b$, com taxa de variação constante (inclinação fixa).
4. O que ocorre com a função inversa se o denominador cresce mais lentamente após certo ponto?: Se o denominador cresce mais devagar, a função inversa diminui mais lentamente ou pode até aumentar, dependendo da taxa de crescimento.
5. O que é um ponto crítico em um gráfico de função?: É um ponto onde ocorre mudança significativa no comportamento da função, como alteração de inclinação ou concavidade.
6. Qual a relação entre taxa de variação de II e comportamento de III nesse contexto?: Quando II cresce rapidamente, III diminui rapidamente; quando II cresce devagar, III diminui devagar ou pode aumentar.
7. Por que III pode aumentar após o ponto crítico de I?: Porque a desaceleração do crescimento de II faz com que a razão inversa (III) pare de diminuir e possa até crescer levemente.

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