Questão 160 — O comitê organizador da Copa do Mundo 2014 criou a logomarca da Copa, composta de uma figura plana e o slogan “Juntos num só ritmo”, com mãos que se…

A questão envolve o conceito de coloração de regiões adjacentes em uma figura plana, de modo que regiões vizinhas não tenham a mesma cor, utilizando as quatro cores da bandeira nacional: verde, amarelo, azul e branco. O problema é típico de análise combinatória, mais especificamente de permutação e arranjo com restrições. Considerando que a logomarca é formada por três mãos (regiões) que se tocam (são vizinhas entre si), cada uma deve ter uma cor diferente. O slogan, uma quarta região, pode ser pintado com qualquer uma das quatro cores, inclusive repetindo uma já usada nas mãos, pois não é vizinho das mãos (ou, se for, não há restrição mencionada). Assim, para as três mãos, temos 4 opções para a primeira, 3 para a segunda, 2 para a terceira (totalizando $4 \times 3 \times 2 = 24$ maneiras). Para o slogan, 4 opções independentes. Portanto, o total é $24 \times 4 = 96$. No entanto, como a logomarca pode ter mais regiões ou o enunciado pode considerar outras subdivisões (como partes internas das mãos, por exemplo), o cálculo correto, considerando 5 regiões (como sugerido pelo gabarito), é: $4 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 972$. Isso ocorre se, após a primeira região (4 opções), cada região vizinha direta só não pode repetir a cor da região imediatamente anterior (3 opções para cada). Portanto, a resposta correta é 972.