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Questão 161 — Viveiros de lagostas são construídos, por cooperativas locais de pescadores, em formato de prismas reto-retangulares, fixados ao solo e com telas fle…

ENEM 2017 Questão 161

Viveiros de lagostas são construídos, por cooperativas locais de pescadores, em formato de prismas reto-retangulares, fixados ao solo e com telas flexíveis de mesma altura, capazes de suportar a corrosão marinha. Para cada viveiro a ser construído, a cooperativa utiliza integralmente 100 metros lineares dessa tela, que é usada apenas nas laterais.

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Quais devem ser os valores de X e de Y, em metro, para que a área da base do viveiro seja máxima?

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Resolução

Resposta correta: Letra D — 25 E 25

A questão aborda a maximização da área de um retângulo (base do viveiro) sob restrição de perímetro fixo, um clássico problema de otimização em geometria. O viveiro tem formato de prisma reto-retangular, e a tela é usada apenas nas laterais, totalizando 100 metros lineares. Assim, o perímetro da base é 100 metros: 2X + 2Y = 100, onde X e Y são os lados do retângulo. O objetivo é maximizar a área A = X \times Y. Substituímos Y = 50 - X e escrevemos A = X \times (50 - X) = 50X - X^2. Para encontrar o valor de X que maximiza a área, derivamos em relação a X, igualamos a zero e resolvemos: A'(X) = 50 - 2X = 0 \Rightarrow X = 25. Assim, Y = 50 - 25 = 25. Portanto, a área máxima ocorre quando a base é um quadrado de 25 m de lado.

Comentários por alternativa

  1. A 1 e 49
    A alternativa A (1 e 49) está errada porque não maximiza a área; lados muito desiguais resultam em área pequena, pois a área seria 1 $\times 49 = 49 m^2.$
  2. B 1 e 99
    A alternativa B (1 e 99) também está incorreta, pois a área seria 1 $\times 99 = 99 m^2,$ bem menor que a máxima possível. Lados muito diferentes não otimizam a área.
  3. C 10 e 10
    A alternativa C (10 e 10) está errada porque, embora os lados sejam iguais, o perímetro seria 40 m, não 100 m, e a área seria 100 m^2, menor que a máxima.
  4. D 25 E 25
    A alternativa D (25 e 25) está correta porque, com X = Y = 25, o perímetro é 100 m e a área é 625 m^2, que é o valor máximo possível sob essa restrição.
  5. E 50 E 50
    A alternativa E (50 e 50) está errada pois o perímetro seria 200 m, o que excede o limite de tela disponível.

Flashcards

Perguntas pontuais sobre o tema desta questão. Toque no card para virar e use as setas para navegar.

1 / 7
1. O que é um prisma reto-retangular?
É um sólido geométrico com bases retangulares e faces laterais perpendiculares às bases.
2. Como se calcula o perímetro de um retângulo?
O perímetro de um retângulo é dado por 2X + 2Y, onde X e Y são os lados.
3. Qual é a expressão para a área de um retângulo?
A área de um retângulo é A = X \times Y.
4. Como maximizar a área de um retângulo com perímetro fixo?
A área máxima ocorre quando o retângulo é um quadrado, ou seja, X = Y.
5. O que significa restrição em problemas de otimização?
É uma condição que limita as possíveis soluções, como um valor fixo para o perímetro.
6. Como usar derivada para encontrar máximos em funções quadráticas?
Igualando a derivada da função a zero, encontramos o ponto de máximo ou mínimo.
7. Por que lados iguais maximizam a área para perímetro fixo?
Porque a função área é máxima quando a diferença entre os lados é mínima, formando um quadrado.

Treino guiado

Detonando o Tema

O DIMVS vai preparar 3 perguntas sobre o mesmo tema desta questão: uma fácil, uma média e uma difícil.

1. Comece pelo fácil 2. Suba para o médio 3. Feche no difícil

Ao responder, você vê a resolução, comentários das alternativas e flashcards. No fim, o resultado mostra seu domínio do tema.