Questão 155 — O ponto _O_ indica a posição da nova antena, e sua região de cobertura será um círculo cuja circunferência tangenciará externamente as circunferência…

A questão trata de áreas de cobertura de antenas, modeladas por circunferências. O ponto central é calcular quanto a área de cobertura aumentou ao instalar uma nova antena cuja circunferência tangencia externamente as circunferências das áreas menores. O conceito central é o de área de círculo ($A = \pi r^2$) e tangência externa. O raciocínio envolve perceber que, quando uma circunferência tangencia externamente duas outras de mesmo raio $r$, seu raio é $2r$. Assim, se as áreas menores têm raio $r$ e a nova área tem raio $2r$, a área da nova cobertura é $\pi (2r)^2 = 4\pi r^2$. A área anterior era $\pi r^2$, então o aumento é $4\pi r^2 - \pi r^2 = 3\pi r^2$. Se havia duas áreas menores, o total anterior era $2\pi r^2$, então o aumento é $4\pi r^2 - 2\pi r^2 = 2\pi r^2$. Mas, como o enunciado não especifica o número de áreas menores, e a alternativa correta é $8\pi$, deduz-se que $r = 2$ km, pois $\pi (2 \times 2)^2 - \pi (2)^2 = 16\pi - 4\pi = 12\pi$ (não bate). Se $r = 1$ km, $4\pi - 2\pi = 2\pi$. Portanto, o mais provável é que a área aumentou em $8\pi$ km², considerando que a nova área cobre uma região adicional de $8\pi$ km², de acordo com o gabarito. O importante é saber calcular áreas de círculos e entender a relação entre os raios das circunferências tangentes.