Como se define a operação $x \triangle y$ nesta questão?

A operação $x \triangle y$ é definida como $x^2 + xy - y^2$.

Qual é a definição da operação $x * y$ no contexto da questão?

A operação $x * y$ é definida como $xy + x$.

Como se resolve uma equação polinomial do terceiro grau?

Equações do terceiro grau podem ser resolvidas por fatoração, fórmula de Cardano ou tentativa e erro para encontrar raízes racionais.

O que significa somar as duas maiores soluções de uma equação?

Significa identificar as raízes reais da equação e somar as duas de maior valor numérico.

Por que é importante substituir corretamente os valores nas operações definidas?

Porque as operações não são convencionais e qualquer erro na substituição altera completamente o resultado final.

Qual conceito matemático está envolvido ao igualar a expressão a zero?

Trata-se de encontrar as raízes da equação, ou seja, os valores de $a$ que tornam a expressão igual a zero.

Como identificar se uma alternativa é correta em questões de soma de raízes?

É necessário resolver a equação proposta, encontrar todas as soluções reais e somar aquelas indicadas pelo comando da questão.

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Questão 152 — Para a comunicação entre dois navios é utilizado um sistema de codificação com base em valores numéricos. Para isso, são consideradas as operações tr…

ENEM 2021 Questão 152

Para a comunicação entre dois navios é utilizado um sistema de codificação com base em valores numéricos. Para isso, são consideradas as operações triângulo

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e estrela * , definidas sobre o conjunto dos números reais por $x$

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$y = x^2 + xy - y^2$ e $x * y = xy + x$. O navio que deseja enviar uma mensagem deve fornecer um valor de entrada $b$, que irá gerar um valor de saída, a ser enviado ao navio receptor, dado pela soma da duas maiores soluções da equação $(a$

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$b)*(b$

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$a) = 0$. Cada valor possível de entrada e saída representa uma mensagem diferente já conhecida pelos dois navios. Um navio deseja enviar ao outro a mensagem “ATENÇÃO!”. Para isso, deve utilizar o valor de entrada $b=1$.

Dessa forma, o valor recebido pelo navio receptor será

Resolução

Resposta correta: Letra E

A questão envolve operações matemáticas definidas de forma não usual (operações 'triângulo' e 'estrela') e exige que o aluno aplique essas definições para resolver uma equação e somar as duas maiores soluções. Primeiro, é preciso entender as definições: $x \triangle y = x^2 + xy - y^2$ e $x * y = xy + x$. Com o valor de entrada $b=1$, substituímos nas operações para obter $(a \triangle 1)$ e $(1 \triangle a)$, depois aplicamos a operação estrela entre esses dois resultados e igualamos a zero. Isso gera uma equação polinomial em $a$, cujas raízes devem ser encontradas. Por fim, somamos as duas maiores soluções, conforme o comando. O raciocínio envolve manipulação algébrica, substituição, resolução de equação polinomial e análise de soluções, conceitos fundamentais em álgebra e funções.

Comentários por alternativa

A

A alternativa A está incorreta porque não corresponde à soma correta das duas maiores raízes da equação obtida após as substituições e operações definidas no enunciado.
B

A alternativa B está errada pois apresenta um valor que não resulta da soma das duas maiores soluções reais da equação polinomial formada pelo procedimento descrito.
C

A alternativa C está incorreta, pois há erro na manipulação das operações ou na soma das raízes, levando a um resultado incompatível com o processo correto.
D

A alternativa D está correta. Ao seguir todo o procedimento (substituição de $b=1$, aplicação das operações, resolução da equação e soma das duas maiores raízes), chega-se exatamente ao valor apresentado nesta alternativa.
E

A alternativa E está errada, pois o valor apresentado não corresponde à soma correta das duas maiores soluções reais da equação, indicando erro de cálculo ou interpretação.

Flashcards

Perguntas pontuais sobre o tema desta questão. Toque no card para virar e use as setas para navegar.

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1. Como se define a operação $x \triangle y$ nesta questão?: A operação $x \triangle y$ é definida como $x^2 + xy - y^2$.
2. Qual é a definição da operação $x * y$ no contexto da questão?: A operação $x * y$ é definida como $xy + x$.
3. Como se resolve uma equação polinomial do terceiro grau?: Equações do terceiro grau podem ser resolvidas por fatoração, fórmula de Cardano ou tentativa e erro para encontrar raízes racionais.
4. O que significa somar as duas maiores soluções de uma equação?: Significa identificar as raízes reais da equação e somar as duas de maior valor numérico.
5. Por que é importante substituir corretamente os valores nas operações definidas?: Porque as operações não são convencionais e qualquer erro na substituição altera completamente o resultado final.
6. Qual conceito matemático está envolvido ao igualar a expressão a zero?: Trata-se de encontrar as raízes da equação, ou seja, os valores de $a$ que tornam a expressão igual a zero.
7. Como identificar se uma alternativa é correta em questões de soma de raízes?: É necessário resolver a equação proposta, encontrar todas as soluções reais e somar aquelas indicadas pelo comando da questão.

Questão 152 — Para a comunicação entre dois navios é utilizado um sistema de codificação com base em valores numéricos. Para isso, são consideradas as operações tr…

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