O que é análise combinatória?

É o ramo da matemática que estuda métodos de contagem, agrupamento e organização de elementos de um conjunto.

Como calcular o número de maneiras de escolher 2 posições entre 4?

Utiliza-se a combinação: \( \binom{4}{2} = 6 \).

Quantas opções de letras há considerando maiúsculas e minúsculas?

São 52 opções: 26 maiúsculas e 26 minúsculas.

Qual princípio matemático usamos para calcular o total de senhas possíveis?

O princípio multiplicativo, multiplicando as possibilidades de cada etapa.

Por que a ordem dos caracteres importa nesta questão?

Porque letras e números podem ocupar qualquer posição na senha, alterando as combinações possíveis.

Qual a diferença entre permutação e combinação?

Permutação considera a ordem dos elementos; combinação, não.

Como representar matematicamente o total de senhas possíveis nesta questão?

Como \( \binom{4}{2} \times 10^2 \times 52^2 \).

Matemática e suas Tecnologias

Questão 168 — Para cadastrar-se em um _site_, uma pessoa precisa escolher uma senha composta por quatro caracteres, sendo dois algarismos e duas letras (maiúsculas…

ENEM 2016 Questão 168

Para cadastrar-se em um _site_, uma pessoa precisa escolher uma senha composta por quatro caracteres, sendo dois algarismos e duas letras (maiúsculas ou minúsculas). As letras e os algarismos podem estar em qualquer posição. Essa pessoa sabe que o alfabeto é composto por vinte e seis letras e que uma letra maiúscula difere da minúscula em uma senha.

Disponível em: www.infowester.com. Acesso em: 14 dez. 2012.

O número total de senhas possíveis para o cadastramento nesse site é dado por

Resolução

Resposta correta: Letra E

A questão trata de análise combinatória, mais especificamente de contagem de possibilidades para formação de senhas. O aluno deve perceber que a senha é composta por 4 caracteres, sendo 2 algarismos (0 a 9) e 2 letras (maiúsculas ou minúsculas, totalizando 52 opções por letra, pois 26 maiúsculas + 26 minúsculas). Como as posições dos caracteres não são fixas, é necessário calcular de quantas formas podemos distribuir 2 letras e 2 números nas 4 posições (arranjo de elementos distintos), e depois multiplicar pelo número de possibilidades para cada tipo de caractere. O raciocínio é: (1) escolher as posições dos algarismos (\( \binom{4}{2} = 6 \)), (2) escolher quais algarismos (\(10\) opções para cada), (3) escolher quais letras (\(52\) opções para cada). Assim, o total é \( \binom{4}{2} \times 10^2 \times 52^2 = 6 \times 100 \times 2704 = 1\,622\,400 \) senhas possíveis.

Comentários por alternativa

A

A alternativa A está incorreta porque provavelmente desconsidera a permutação das posições dos caracteres ou o número correto de opções para letras maiúsculas e minúsculas.
B

A alternativa B erra ao não considerar todas as combinações possíveis de posições para letras e números, ou ao usar valores errados para o número de letras disponíveis.
C

A alternativa C apresenta erro semelhante, talvez ignorando a distinção entre maiúsculas e minúsculas ou não aplicando o princípio multiplicativo corretamente.
D

A alternativa D está errada porque não leva em conta a escolha das posições dos caracteres (letras e números podem estar em qualquer posição).
E

A alternativa E está correta porque considera corretamente: a escolha das posições dos algarismos (\( \binom{4}{2} = 6 \)), as 10 opções para cada algarismo e as 52 opções para cada letra, resultando em \( 6 \times 10^2 \times 52^2 \) senhas possíveis.

Flashcards

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1. O que é análise combinatória?: É o ramo da matemática que estuda métodos de contagem, agrupamento e organização de elementos de um conjunto.
2. Como calcular o número de maneiras de escolher 2 posições entre 4?: Utiliza-se a combinação: \( \binom{4}{2} = 6 \).
3. Quantas opções de letras há considerando maiúsculas e minúsculas?: São 52 opções: 26 maiúsculas e 26 minúsculas.
4. Qual princípio matemático usamos para calcular o total de senhas possíveis?: O princípio multiplicativo, multiplicando as possibilidades de cada etapa.
5. Por que a ordem dos caracteres importa nesta questão?: Porque letras e números podem ocupar qualquer posição na senha, alterando as combinações possíveis.
6. Qual a diferença entre permutação e combinação?: Permutação considera a ordem dos elementos; combinação, não.
7. Como representar matematicamente o total de senhas possíveis nesta questão?: Como \( \binom{4}{2} \times 10^2 \times 52^2 \).

Questão 168 — Para cadastrar-se em um _site_, uma pessoa precisa escolher uma senha composta por quatro caracteres, sendo dois algarismos e duas letras (maiúsculas…

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