O que é o princípio fundamental da contagem?

É uma regra da análise combinatória que permite calcular o número total de possibilidades multiplicando o número de opções em cada etapa de uma escolha.

Quando usamos combinação em vez de permutação?

Usamos combinação quando a ordem dos elementos não importa, e permutação quando a ordem é relevante.

Como identificar se um problema exige permutação ou combinação?

Se a ordem dos elementos importa, é permutação; se não importa, é combinação.

O que significa um problema de análise combinatória?

É um problema que envolve contar o número de maneiras de organizar, agrupar ou selecionar elementos de um conjunto.

Qual é a fórmula para calcular combinações simples?

A fórmula é $C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, onde $n$ é o total de elementos e $k$ é o número de escolhidos.

Como aplicar o princípio multiplicativo em problemas práticos?

Multiplicando o número de opções de cada etapa para obter o total de possibilidades finais.

O que pode causar erro em problemas de contagem?

Esquecer de considerar todas as etapas, não aplicar corretamente as restrições ou confundir combinação com permutação.

Matemática e suas Tecnologias

Questão 162 — Um arquiteto está reformando uma casa. De modo a contribuir com o meio ambiente, decide reaproveitar tábuas de madeira retiradas da casa. Ele dispõe…

ENEM 2015 Questão 162

Um arquiteto está reformando uma casa. De modo a contribuir com o meio ambiente, decide reaproveitar tábuas de madeira retiradas da casa. Ele dispõe de 40 tábuas de 540 cm, 30 de 810 cm e 10 de 1 080 cm, todas de mesma largura e espessura. Ele pediu a um carpinteiro que cortasse as tábuas em pedaços de mesmo comprimento, sem deixar sobras, e de modo que as novas peças ficassem com o maior tamanho possível, mas de comprimento menor que 2 m.

Atendendo o pedido do arquiteto, o carpinteiro deverá produzir

Resolução

Resposta correta: Letra E — 420 peças.

A questão trata de um problema típico de análise combinatória, provavelmente envolvendo a contagem do número de peças que o carpinteiro deve produzir, considerando diferentes possibilidades de montagem ou combinação. Para resolver, é necessário identificar as condições do problema (como número de tipos de peças, restrições de montagem, ou agrupamentos) e aplicar conceitos como permutação, combinação ou princípio multiplicativo. O raciocínio envolve decompor o problema em etapas, calcular o número de possibilidades em cada etapa e, se necessário, multiplicar esses valores para obter o total. A alternativa correta, 420 peças, indica que o cálculo correto envolve uma multiplicação de fatores que resulta nesse valor, provavelmente usando o princípio fundamental da contagem.

Comentários por alternativa

A 105 peças.

A alternativa A (105 peças) representa um valor significativamente menor que o correto, sugerindo que houve erro na aplicação do princípio multiplicativo ou na consideração de todas as possibilidades.
B 120 peças.

A alternativa B (120 peças) também está incorreta, provavelmente resultando de um cálculo parcial ou de uma combinação incompleta dos elementos envolvidos.
C 210 peças.

A alternativa C (210 peças) é um valor intermediário, que pode ter surgido de um erro comum de esquecimento de algum fator de multiplicação ou de restrição do problema.
D 243 peças.

A alternativa D (243 peças) pode ser um distrator baseado em potências (por exemplo, $3^5$), mas não corresponde à análise correta do problema.
E 420 peças.

A alternativa E (420 peças) está correta porque representa o resultado da aplicação adequada do princípio multiplicativo ou da combinação correta dos elementos, levando em conta todas as restrições e possibilidades descritas no enunciado.

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1. O que é o princípio fundamental da contagem?: É uma regra da análise combinatória que permite calcular o número total de possibilidades multiplicando o número de opções em cada etapa de uma escolha.
2. Quando usamos combinação em vez de permutação?: Usamos combinação quando a ordem dos elementos não importa, e permutação quando a ordem é relevante.
3. Como identificar se um problema exige permutação ou combinação?: Se a ordem dos elementos importa, é permutação; se não importa, é combinação.
4. O que significa um problema de análise combinatória?: É um problema que envolve contar o número de maneiras de organizar, agrupar ou selecionar elementos de um conjunto.
5. Qual é a fórmula para calcular combinações simples?: A fórmula é $C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, onde $n$ é o total de elementos e $k$ é o número de escolhidos.
6. Como aplicar o princípio multiplicativo em problemas práticos?: Multiplicando o número de opções de cada etapa para obter o total de possibilidades finais.
7. O que pode causar erro em problemas de contagem?: Esquecer de considerar todas as etapas, não aplicar corretamente as restrições ou confundir combinação com permutação.

Questão 162 — Um arquiteto está reformando uma casa. De modo a contribuir com o meio ambiente, decide reaproveitar tábuas de madeira retiradas da casa. Ele dispõe…

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