O que é valor presente em juros compostos?

É o valor atual de uma quantia a ser recebida ou paga no futuro, descontando-se os juros compostos do período até o vencimento.

Como se calcula o valor presente de uma parcela futura em juros compostos?

Utiliza-se a fórmula $P = \frac{V}{(1+i)^n}$, onde $V$ é o valor futuro, $i$ a taxa de juros e $n$ o número de períodos.

O que representa o desconto por antecipação de uma parcela?

É a diferença entre o valor nominal da parcela e seu valor presente, refletindo os juros que deixam de ser pagos pelo adiantamento.

Por que se usa logaritmo para encontrar o número de períodos em juros compostos?

Porque a incógnita está no expoente e, para isolá-la, é necessário aplicar logaritmo nos dois lados da equação.

Como converter uma taxa percentual mensal para decimal?

Divide-se o valor percentual por 100; por exemplo, 1,32% ao mês equivale a 0,0132.

Qual a relação entre desconto percentual e valor presente?

O desconto percentual é calculado por $\frac{V - P}{V}$, indicando quanto do valor nominal foi abatido pela antecipação.

Por que antecipar parcelas pode ser vantajoso em contratos com juros?

Porque o devedor paga menos juros, quitando o valor presente da dívida, o que reduz o valor efetivamente desembolsado.

Matemática e suas Tecnologias

Questão 137 — Um contrato de emprestimo prevê que quando uma parcela e paga de forma antecipada, conceder-se-ee uma redução de juros de acordo com o período de ant…

ENEM 2018 Questão 137

Um contrato de emprestimo prevê que quando uma parcela e paga de forma antecipada, conceder-se-ee uma redução de juros de acordo com o período de antecipação. Nesse caso, paga-se o valor presente, que e o valor, naquele momento, de uma quantia que deveria ser paga em uma data futura. Um valor presente $P$ submetido a juros compostos com taxa $i$, por um período de tempo $n$, produz um valor futuro $V$ determinado pela fórmula:

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Em um contrato de emprestimo com sessenta parcelas fixas mensais, de R$820,00, a uma taxa de juros de 1,32% ao mês, junto com a trigésima parcela será paga antecipadamente uma outra parcela, desde que o desconto seja superior a 25% do valor da parcela. Utilize 0,2877 como aproximação para In

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e 0,0131 como aproximação para In (1,0132).

A primeira das parcelas que poderá ser antecipada junto com a 30aa e a

Resolução

Resposta correta: Letra C — 52aa

A questão aborda o conceito de valor presente em juros compostos, aplicado ao desconto por antecipação de parcelas em um contrato de empréstimo. O aluno deve calcular, entre as parcelas futuras, qual é a primeira que pode ser antecipada junto com a 30ª, de modo que o desconto obtido (diferença entre o valor nominal da parcela e seu valor presente) seja superior a 25% do valor da parcela. Para isso, utiliza-se a fórmula do valor presente: $P = \frac{V}{(1+i)^n}$, onde $V$ é o valor da parcela (R$820,00), $i$ a taxa mensal (1,32% = 0,0132) e $n$ o número de meses entre o pagamento antecipado (na 30ª parcela) e o vencimento da parcela a ser antecipada. O desconto é $D = V - P$. O aluno deve encontrar o menor $n$ (ou seja, a parcela mais próxima da 30ª) tal que $D > 0,25V$. Utilizando logaritmos e as aproximações fornecidas ($\ln e \approx 0,2877$ e $\ln(1,0132) \approx 0,0131$), chega-se que a primeira parcela possível de antecipação é a 52ª, pois para ela o desconto ultrapassa 25%.

Comentários por alternativa

A 56aa

A alternativa A (56ª) está errada porque, ao antecipar a 56ª parcela, o desconto já seria bem superior a 25%. A questão pede a primeira parcela possível, ou seja, a mais próxima da 30ª que atinge o critério.
B 55aa

A alternativa B (55ª) também está incorreta, pois a 55ª parcela pode ser antecipada, mas não é a primeira a atender ao desconto mínimo exigido. Há uma anterior que já permite o desconto.
C 52aa

A alternativa C (52ª) está correta. Ao calcular o valor presente da 52ª parcela antecipada na 30ª, o desconto obtido é ligeiramente superior a 25% do valor da parcela, atendendo exatamente ao critério do enunciado.
D 51aa

A alternativa D (51ª) está errada porque, ao antecipar a 51ª parcela, o desconto ainda não atinge os 25% exigidos. Portanto, não é a primeira possível.
E 45aa

A alternativa E (45ª) está incorreta, pois a antecipação da 45ª parcela gera um desconto bem inferior a 25%, não atendendo ao requisito mínimo do problema.

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1. O que é valor presente em juros compostos?: É o valor atual de uma quantia a ser recebida ou paga no futuro, descontando-se os juros compostos do período até o vencimento.
2. Como se calcula o valor presente de uma parcela futura em juros compostos?: Utiliza-se a fórmula $P = \frac{V}{(1+i)^n}$, onde $V$ é o valor futuro, $i$ a taxa de juros e $n$ o número de períodos.
3. O que representa o desconto por antecipação de uma parcela?: É a diferença entre o valor nominal da parcela e seu valor presente, refletindo os juros que deixam de ser pagos pelo adiantamento.
4. Por que se usa logaritmo para encontrar o número de períodos em juros compostos?: Porque a incógnita está no expoente e, para isolá-la, é necessário aplicar logaritmo nos dois lados da equação.
5. Como converter uma taxa percentual mensal para decimal?: Divide-se o valor percentual por 100; por exemplo, 1,32% ao mês equivale a 0,0132.
6. Qual a relação entre desconto percentual e valor presente?: O desconto percentual é calculado por $\frac{V - P}{V}$, indicando quanto do valor nominal foi abatido pela antecipação.
7. Por que antecipar parcelas pode ser vantajoso em contratos com juros?: Porque o devedor paga menos juros, quitando o valor presente da dívida, o que reduz o valor efetivamente desembolsado.

Questão 137 — Um contrato de emprestimo prevê que quando uma parcela e paga de forma antecipada, conceder-se-ee uma redução de juros de acordo com o período de ant…

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