O que é uma função periódica?

É uma função que se repete em intervalos regulares, como seno e cosseno, comuns em movimentos oscilatórios.

Como se calcula o período de uma função trigonométrica do tipo $h(t) = a + b\cos(\beta t)$?

O período é dado por $T = \frac{2\pi}{\beta}$, onde β é a frequência angular.

O que representa o parâmetro β em funções trigonométricas aplicadas à física?

β representa a frequência angular, indicando quão rápido ocorre a oscilação ou repetição do fenômeno.

Como determinar quantas vezes uma função periódica atinge um valor específico em um intervalo de tempo?

É necessário calcular o número de cruzamentos da função com esse valor dentro do intervalo, considerando o período e a amplitude.

Por que se utiliza uma aproximação para π em cálculos de vestibular?

Para facilitar os cálculos e evitar operações complexas, tornando a resolução mais rápida e adequada ao tempo de prova.

Qual a relação entre frequência e período em movimentos periódicos?

Frequência é o inverso do período: $f = \frac{1}{T}$.

Por que o menor valor de β é importante para o funcionamento do motor?

Porque garante o desempenho mínimo necessário sem exigir rotações excessivas, otimizando potência e eficiência.

Matemática e suas Tecnologias

Questão 177

ENEM 2019 Questão 177

Um grupo de engenheiros está projetando um motor cujo esquema de deslocamento vertical do pistão dentro da câmara de combustão esta representado na figura. descreve como varia a altura h, medida em centímetro, da parte superior do pistão dentro da câmara de combustão, em função do tempo t, medido em segundo. Nas figuras estão indicadas as alturas do pistão em dois instantes distintos. O valor do parâmetro β, que é dado por um número inteiro positivo, está relacionado com a velocidade de deslocamento do pistão. Para que o motor tenha uma boa potência, é necessário e suficiente que, em menos de 4 segundos após o início do funcionamento (instante t = 0), a altura da base do pistão alcance por três vezes o valor de 6 cm. Para os cálculos, utilize 3 como aproximação para $\pi$.

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O menor valor inteiro a ser atribuído ao parâmetro β, de forma que o motor a ser construído tenha boa potência, é

Resolução

A questão trata do movimento periódico do pistão de um motor, modelado por uma função trigonométrica (geralmente seno ou cosseno), em que a altura h do pistão varia com o tempo t. O parâmetro β está relacionado à frequência angular do movimento, ou seja, quanto maior β, mais rápido o pistão oscila. O objetivo é determinar o menor valor inteiro de β para que, em menos de 4 segundos, a altura do pistão atinja o valor de 6 cm exatamente três vezes. Para isso, é necessário compreender o conceito de função periódica, frequência, período e como calcular o número de vezes que uma função atinge determinado valor em um intervalo de tempo. Utilizando π ≈ 3, o período T da função é calculado por $T = \frac{2\pi}{\beta}$, e o número de ciclos completos em 4 segundos é $n = \frac{4}{T} = \frac{4\beta}{2\pi} = \frac{2\beta}{3}$. Para que o pistão atinja 6 cm três vezes em menos de 4 segundos, é preciso que o número de cruzamentos (ou seja, soluções para $h(t) = 6$) seja pelo menos 3. Após analisar o comportamento da função trigonométrica e distribuir os cruzamentos ao longo dos ciclos, conclui-se que o menor valor inteiro de β que satisfaz a condição é 5.

Comentários por alternativa

A 1.

A alternativa A está errada porque β = 1 resulta em um período muito grande, fazendo com que o pistão atinja 6 cm menos vezes do que o necessário em 4 segundos.
B 2.

A alternativa B está incorreta pois β = 2 ainda não proporciona cruzamentos suficientes com o valor de 6 cm no intervalo de tempo exigido.
C 4.

A alternativa C está errada porque β = 4 quase atinge a quantidade necessária de cruzamentos, mas ainda não é suficiente para garantir três passagens por 6 cm em menos de 4 segundos.
D 5.

A alternativa D está correta porque, com β = 5, o pistão completa ciclos suficientes para atingir o valor de 6 cm três vezes em menos de 4 segundos, atendendo ao requisito de potência do motor.
E 8.

A alternativa E está errada porque β = 8 é um valor maior do que o necessário, ou seja, não é o menor valor inteiro possível para satisfazer a condição do problema.

Flashcards

Perguntas pontuais sobre o tema desta questão. Toque no card para virar e use as setas para navegar.

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1. O que é uma função periódica?: É uma função que se repete em intervalos regulares, como seno e cosseno, comuns em movimentos oscilatórios.
2. Como se calcula o período de uma função trigonométrica do tipo $h(t) = a + b\cos(\beta t)$?: O período é dado por $T = \frac{2\pi}{\beta}$, onde β é a frequência angular.
3. O que representa o parâmetro β em funções trigonométricas aplicadas à física?: β representa a frequência angular, indicando quão rápido ocorre a oscilação ou repetição do fenômeno.
4. Como determinar quantas vezes uma função periódica atinge um valor específico em um intervalo de tempo?: É necessário calcular o número de cruzamentos da função com esse valor dentro do intervalo, considerando o período e a amplitude.
5. Por que se utiliza uma aproximação para π em cálculos de vestibular?: Para facilitar os cálculos e evitar operações complexas, tornando a resolução mais rápida e adequada ao tempo de prova.
6. Qual a relação entre frequência e período em movimentos periódicos?: Frequência é o inverso do período: $f = \frac{1}{T}$.
7. Por que o menor valor de β é importante para o funcionamento do motor?: Porque garante o desempenho mínimo necessário sem exigir rotações excessivas, otimizando potência e eficiência.