O que é um sistema de equações lineares?

É um conjunto de duas ou mais equações envolvendo as mesmas variáveis, que devem ser resolvidas simultaneamente.

Como se resolve um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas?

Pode-se usar métodos como substituição, adição (ou subtração) e comparação para encontrar os valores das incógnitas.

O que significa maximizar uma soma sob uma restrição linear?

Significa encontrar os maiores valores inteiros possíveis das variáveis, sem violar a equação dada.

Como identificar os comprimentos dos circuitos nesta questão?

Montando um sistema com as quantidades de voltas e as distâncias totais, e resolvendo para encontrar os valores de cada circuito.

Por que é importante que o número de voltas seja inteiro?

Porque não faz sentido dar uma fração de volta em uma corrida; cada volta deve ser completa.

Como transformar a equação para facilitar os cálculos?

Dividindo todos os termos por um fator comum, simplificando os coeficientes para facilitar a análise dos valores inteiros possíveis.

Qual a relação entre divisibilidade e resolução deste problema?

É preciso garantir que a combinação de voltas resulte exatamente no total desejado, o que envolve múltiplos e divisores dos comprimentos dos circuitos.

Matemática e suas Tecnologias

Questão 146 — Um parque tem dois circuitos de tamanhos diferentes para corridas. Um corredor treina nesse parque e, no primeiro dia, inicia seu treino percorrendo…

ENEM 2022 Questão 146

Um parque tem dois circuitos de tamanhos diferentes para corridas. Um corredor treina nesse parque e, no primeiro dia, inicia seu treino percorrendo 3 voltas em torno do circuito maior e 2 voltas em torno do menor, perfazendo um total de 1 800 m. Em seguida, dando continuidade a seu treino, corre mais 2 voltas em torno do circuito maior e 1 volta em torno do menor, percorrendo mais 1 100 m. No segundo dia, ele pretende percorrer 5 000 m nos circuitos do parque, fazendo um número inteiro de voltas em torno deles e de modo que o número de voltas seja o maior possível.

A soma do número de voltas em torno dos dois circuitos, no segundo dia, será

Resolução

Resposta correta: Letra E — 16

Esta questão envolve sistemas de equações lineares e divisibilidade. O problema apresenta dois circuitos de corrida com comprimentos desconhecidos. O corredor faz combinações de voltas em cada circuito e percorre distâncias totais conhecidas em dois momentos. O objetivo é determinar, para um novo total de 5 000 m, o maior número inteiro possível de voltas (somando voltas nos dois circuitos). Primeiro, montamos um sistema de equações para descobrir o comprimento de cada circuito. Seja x o comprimento do circuito maior e y do menor. Do enunciado: 3x + 2y = 1800 e 2x + y = 1100. Resolvendo o sistema, multiplicamos a segunda equação por 2: 4x + 2y = 2200. Subtraindo a primeira da segunda: (4x + 2y) - (3x + 2y) = 2200 - 1800, logo x = 400 m. Substituindo em 2x + y = 1100: 2(400) + y = 1100 → 800 + y = 1100 → y = 300 m. Agora, queremos maximizar o número de voltas inteiras em ambos os circuitos, ou seja, encontrar números inteiros n e m tais que 400n + 300m = 5000 e n + m seja máximo. Dividindo ambos os lados por 100: 4n + 3m = 50. Para maximizar n + m, m deve ser o maior possível sem que n fique negativo. Testando valores de m: se m = 14, 4n + 3(14) = 50 → 4n + 42 = 50 → 4n = 8 → n = 2. Então, n + m = 2 + 14 = 16. Se m = 15, 4n + 45 = 50 → 4n = 5 (não é inteiro). Se m = 13, 4n + 39 = 50 → 4n = 11 (não é inteiro). Portanto, o maior valor inteiro para n + m é 16, alternativa E.

Comentários por alternativa

A 10.

A alternativa A (10) está incorreta porque é possível fazer mais voltas inteiras sem ultrapassar os 5 000 m, conforme mostrado na resolução.
B 13.

A alternativa B (13) está errada, pois, ao testar os valores, n + m pode ser maior, atingindo até 16 voltas inteiras.
C 14.

A alternativa C (14) é um distrator, pois, ao tentar m = 14, n = 2, o total é 16, não 14.
D 15.

A alternativa D (15) está incorreta porque, para m = 15, n não resulta em um valor inteiro, logo não é possível obter 15 voltas inteiras.
E 16

A alternativa E está correta, pois, ao resolver o sistema e testar os valores, vemos que a soma máxima de voltas inteiras é 16 (2 no circuito maior e 14 no menor), totalizando exatamente 5 000 m.

Flashcards

Perguntas pontuais sobre o tema desta questão. Toque no card para virar e use as setas para navegar.

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1. O que é um sistema de equações lineares?: É um conjunto de duas ou mais equações envolvendo as mesmas variáveis, que devem ser resolvidas simultaneamente.
2. Como se resolve um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas?: Pode-se usar métodos como substituição, adição (ou subtração) e comparação para encontrar os valores das incógnitas.
3. O que significa maximizar uma soma sob uma restrição linear?: Significa encontrar os maiores valores inteiros possíveis das variáveis, sem violar a equação dada.
4. Como identificar os comprimentos dos circuitos nesta questão?: Montando um sistema com as quantidades de voltas e as distâncias totais, e resolvendo para encontrar os valores de cada circuito.
5. Por que é importante que o número de voltas seja inteiro?: Porque não faz sentido dar uma fração de volta em uma corrida; cada volta deve ser completa.
6. Como transformar a equação para facilitar os cálculos?: Dividindo todos os termos por um fator comum, simplificando os coeficientes para facilitar a análise dos valores inteiros possíveis.
7. Qual a relação entre divisibilidade e resolução deste problema?: É preciso garantir que a combinação de voltas resulte exatamente no total desejado, o que envolve múltiplos e divisores dos comprimentos dos circuitos.

Questão 146 — Um parque tem dois circuitos de tamanhos diferentes para corridas. Um corredor treina nesse parque e, no primeiro dia, inicia seu treino percorrendo…

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