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Questão — Um pesquisador monitora a temperatura de um líquido em um recipiente isolado, cuja temperatura no tempo t (em minutos) é modelada pela função T(t) =…

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Difícil Referência ENEM - 2024 - Questão 148

Um pesquisador monitora a temperatura de um líquido em um recipiente isolado, cuja temperatura no tempo t (em minutos) é modelada pela função T(t) = M + N $\cdot e^{kt},$ onde M, N e k são constantes reais e k < 0. Suponha que, durante o experimento, foi observado que a temperatura inicial era 40 °C e que após 10 minutos a temperatura era 30 °C, enquanto o limite da temperatura com o passar do tempo tende a 18 °C. Considerando essas informações, qual é o valor da constante k que caracteriza o resfriamento do líquido, e como ela influencia na velocidade da diminuição da temperatura?

Explique também o papel do parâmetro M nesse modelo, relacionando-o com o comportamento do sistema ao longo do tempo.

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Resolução

Resposta correta: Letra A — k = -0,07 min⁻¹; M é a temperatura limite que o líquido tende ao resfriar, garantindo uma estabilização no valor mínimo.

A questão aborda o modelo matemático de resfriamento de um líquido em um recipiente isolado, descrito por uma função exponencial do tipo $T(t) = M + N \cdot e^{kt}$, onde $M$ é o valor limite da temperatura, $N$ é uma constante relacionada à diferença inicial de temperatura, e $k$ (com $k < 0$) determina a rapidez do resfriamento. Os dados fornecidos são: temperatura inicial $T(0) = 40\,^{\circ}\text{C}$, temperatura após 10 minutos $T(10) = 30\,^{\circ}\text{C}$ e temperatura limite $M = 18\,^{\circ}\text{C}$. Substituindo esses valores na função, temos dois sistemas de equações para determinar $N$ e $k$. Ao resolver, encontramos $N = 22$ e $k = -0,07\,\text{min}^{-1}$. O parâmetro $M$ representa a temperatura de equilíbrio, ou seja, o valor para o qual a temperatura do líquido tende conforme $t \to \infty$. O valor negativo de $k$ indica decaimento exponencial, e quanto mais negativo, mais rápido ocorre o resfriamento. Assim, a alternativa correta é a A.

Comentários por alternativa

  1. A k = -0,07 min⁻¹; M é a temperatura limite que o líquido tende ao resfriar, garantindo uma estabilização no valor mínimo.
    A alternativa A está correta porque calcula corretamente $k = -0,07\,\text{min}^{-1}$ e identifica $M$ como a temperatura limite do sistema, que é o valor para o qual a temperatura do líquido tende ao longo do tempo. Isso está de acordo com o comportamento físico do resfriamento em ambientes isolados.
  2. B k = 0,07 min⁻¹; M representa o valor inicial da temperatura ao início do experimento.
    A alternativa B está errada porque o valor de $k$ deveria ser negativo, não positivo, já que o modelo representa um decaimento exponencial. Além disso, $M$ não é a temperatura inicial, mas sim a temperatura limite.
  3. C k = -0,12 min⁻¹; M é a taxa de variação da temperatura no instante inicial.
    A alternativa C está incorreta porque o valor de $k$ não é $-0,12$, e $M$ não representa a taxa de variação da temperatura, mas sim o valor limite para o qual a temperatura tende.
  4. D k = 0,12 min⁻¹; M é uma constante que indica a variação instantânea da temperatura no tempo t = 10 minutos.
    A alternativa D está errada pois $k$ deve ser negativo (não positivo) e $M$ não indica variação instantânea, mas sim o valor de equilíbrio da temperatura.
  5. E k = 0; M representa a temperatura que o líquido mantém durante todo o experimento sem variações.
    A alternativa E está incorreta porque $k = 0$ implicaria ausência de variação de temperatura, o que não corresponde ao fenômeno descrito. Além disso, o modelo prevê mudança de temperatura até atingir o limite $M$.

Flashcards

Perguntas pontuais sobre o tema desta questão. Toque no card para virar e use as setas para navegar.

1 / 7
1. O que representa o parâmetro M na função $T(t) = M + N \cdot e^{kt}$?
M é a temperatura limite ou de equilíbrio, para a qual o sistema tende conforme o tempo aumenta.
2. Por que o valor de k deve ser negativo no modelo de resfriamento exponencial?
Porque um k negativo garante que a exponencial decaia, representando a diminuição da temperatura ao longo do tempo.
3. Como determinar N na função $T(t) = M + N \cdot e^{kt}$ usando a condição inicial?
Substitua $t = 0$ e a temperatura inicial na equação para obter $N = T(0) - M$.
4. O que ocorre com $T(t)$ quando $t \to \infty$ nesse modelo?
A função $T(t)$ tende a M, pois o termo exponencial vai a zero para $k < 0$.
5. Como a constante k influencia a velocidade do resfriamento?
Quanto mais negativo for k, mais rápido a temperatura se aproxima do valor limite M.
6. Qual é a relação entre o modelo matemático e a Lei de Resfriamento de Newton?
O modelo é uma solução típica da Lei de Resfriamento de Newton, que prevê decaimento exponencial da diferença de temperatura.
7. Se a temperatura limite M fosse aumentada, como isso afetaria o gráfico de T(t)?
O gráfico se deslocaria para cima, pois a temperatura final de equilíbrio seria maior.

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