O que diz a Lei dos Cossenos?

A Lei dos Cossenos relaciona os lados e ângulos de um triângulo qualquer: $ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(A) $.

Como calcular o valor de $ \cos(120^\circ) $?

O valor de $ \cos(120^\circ) $ é $ -\frac{1}{2} $.

O que caracteriza um triângulo isósceles?

Um triângulo isósceles possui dois lados de mesmo comprimento e dois ângulos congruentes.

Como se calcula a raiz quadrada de 300?

A raiz quadrada de 300 é $ \sqrt{300} = 10\sqrt{3} \approx 17,32 $.

Para que serve um compasso na geometria?

O compasso é usado para traçar circunferências e medir distâncias em desenhos geométricos.

O que é um plano cartesiano?

É um sistema de coordenadas bidimensional formado por dois eixos perpendiculares, geralmente chamados de x e y.

Por que é importante saber o raio ao fabricar uma tampa circular?

O raio determina o tamanho da tampa, influenciando a escolha do material e o ajuste ao recipiente.

Matemática e suas Tecnologias

Questão 156 — Uma desenhista projetista deverá desenhar uma tampa de panela em forma circular. Para realizar esse desenho, ela dispõe, no momento, de apenas um com…

ENEM 2017 Questão 156

Uma desenhista projetista deverá desenhar uma tampa de panela em forma circular. Para realizar esse desenho, ela dispõe, no momento, de apenas um compasso, cujo comprimento das hastes é de 10 cm, um transferidor e uma folha de papel com um plano cartesiano. Para esboçar o desenho dessa tampa, ela afastou as hastes do compasso de forma que o ângulo formado por elas fosse de 120o. A ponta seca está representada pelo ponto C, a ponta do grafite está representada pelo ponto B e a cabeça do compasso está representada pelo ponto A conforme a figura.

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Após concluir o desenho, ela o encaminha para o setor de produção. Ao receber o desenho com a indicação do raio da tampa, verificará em qual intervalo este se encontra e decidirá o tipo de material a ser utilizado na sua fabricação, de acordo com os dados.

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O tipo de material a ser utilizado pelo setor de produção será

Resolução

Resposta correta: Letra D — IV

A questão envolve geometria plana, especificamente a aplicação da Lei dos Cossenos para determinar o raio de um círculo desenhado com um compasso cujas hastes têm comprimento de 10 cm e formam um ângulo de 120°. O problema pede para encontrar o valor do raio da circunferência traçada, a partir das informações fornecidas, e identificar em qual intervalo esse valor se encontra para decidir o tipo de material a ser utilizado. O raciocínio envolve reconhecer que os pontos A (cabeça do compasso), B (grafite) e C (ponta seca) formam um triângulo isósceles com lados AB = AC = 10 cm e ângulo BAC = 120°. O raio buscado é a distância do centro da circunferência (que coincide com a ponta seca) até o ponto onde o grafite toca o papel. Aplicando a Lei dos Cossenos, calcula-se o lado BC (raio): $ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(120^\circ) $. Como $ \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} $, temos $ BC^2 = 10^2 + 10^2 - 2 \cdot 10 \cdot 10 \cdot (-\frac{1}{2}) = 100 + 100 + 100 = 300 $, logo $ BC = \sqrt{300} = 10\sqrt{3} \approx 17,32 $ cm. Assim, o raio está no intervalo correspondente à alternativa D.

Comentários por alternativa

A I

A alternativa A está incorreta porque o valor calculado para o raio (10$\sqrt{3} \approx 17,32$ cm) não se encaixa no intervalo proposto por essa opção.
B II

A alternativa B está errada pois apresenta um intervalo incompatível com o valor real do raio, subestimando o resultado obtido pela aplicação da Lei dos Cossenos.
C III

A alternativa C está incorreta porque o intervalo sugerido não contempla o valor encontrado para o raio, que é maior do que os limites dessa alternativa.
D IV

A alternativa D está correta, pois o valor do raio calculado (10$\sqrt{3} \approx 17,32$ cm) se encaixa perfeitamente no intervalo apresentado por essa opção, de acordo com o resultado matemático.
E V

A alternativa E está errada porque sugere um intervalo superior ao valor real do raio, superestimando o resultado obtido pelo cálculo.

Flashcards

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1. O que diz a Lei dos Cossenos?: A Lei dos Cossenos relaciona os lados e ângulos de um triângulo qualquer: $ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(A) $.
2. Como calcular o valor de $ \cos(120^\circ) $?: O valor de $ \cos(120^\circ) $ é $ -\frac{1}{2} $.
3. O que caracteriza um triângulo isósceles?: Um triângulo isósceles possui dois lados de mesmo comprimento e dois ângulos congruentes.
4. Como se calcula a raiz quadrada de 300?: A raiz quadrada de 300 é $ \sqrt{300} = 10\sqrt{3} \approx 17,32 $.
5. Para que serve um compasso na geometria?: O compasso é usado para traçar circunferências e medir distâncias em desenhos geométricos.
6. O que é um plano cartesiano?: É um sistema de coordenadas bidimensional formado por dois eixos perpendiculares, geralmente chamados de x e y.
7. Por que é importante saber o raio ao fabricar uma tampa circular?: O raio determina o tamanho da tampa, influenciando a escolha do material e o ajuste ao recipiente.

Questão 156 — Uma desenhista projetista deverá desenhar uma tampa de panela em forma circular. Para realizar esse desenho, ela dispõe, no momento, de apenas um com…

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