Qual é a fórmula do volume de um cilindro?

O volume de um cilindro é dado por $V = \pi r^2 h$, onde $r$ é o raio da base e $h$ é a altura.

Como volumes iguais de cilindros com alturas diferentes afetam seus raios?

Se dois cilindros têm volumes iguais, mas alturas diferentes, o raio do cilindro mais baixo deve ser maior para compensar a menor altura.

O que significa a altura ser 25% da outra em termos matemáticos?

Significa que $h_B = 0,25h_A$, ou seja, a altura da caixa B é um quarto da altura da caixa A.

Como isolar o raio em uma equação de volumes iguais de cilindros?

Iguale os volumes, substitua as alturas e resolva para o raio desejado usando álgebra.

Se $r_B^2 = 4R^2$, qual é a relação entre $r_B$ e $R$?

Se $r_B^2 = 4R^2$, então $r_B = 2R$.

Por que o fator de aumento do raio é a raiz quadrada do inverso da fração da altura?

Porque o volume depende do quadrado do raio; ao diminuir a altura, o raio precisa aumentar proporcionalmente à raiz quadrada do inverso dessa fração para manter o volume.

Como aplicar proporções em problemas de geometria espacial?

Identifique as grandezas relacionadas, escreva as equações e use proporções para encontrar as relações entre as variáveis desconhecidas.

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Questão 161 — Uma loja de materiais de construção vende dois tipos de caixas-d’água: tipo A e tipo B. Ambas têm formato cilíndrico e possuem o mesmo volume, e a al…

ENEM 2020 Questão 161

Uma loja de materiais de construção vende dois tipos de caixas-d’água: tipo A e tipo B. Ambas têm formato cilíndrico e possuem o mesmo volume, e a altura da caixa-d’água do tipo B é igual a 25% da altura da caixa-d’água do tipo A.

Se R denota o raio da caixa-d’água do tipo A, então o raio da caixa-d’água do tipo B é

Resolução

Resposta correta: Letra B

A questão envolve geometria espacial, especificamente o volume de cilindros. Temos duas caixas-d’água cilíndricas (A e B) com volumes iguais. A altura da caixa B é 25% da altura da caixa A, ou seja, $h_B = 0,25h_A$. O volume de um cilindro é dado por $V = \pi r^2 h$. Como os volumes são iguais, temos $\pi R^2 h_A = \pi r_B^2 h_B$. Substituindo $h_B = 0,25h_A$, obtemos $R^2 h_A = r_B^2 (0,25h_A)$. Simplificando, $R^2 = 0,25 r_B^2$, ou seja, $r_B^2 = 4R^2$, logo $r_B = 2R$. Portanto, o raio da caixa B é o dobro do raio da caixa A.

Comentários por alternativa

A

A alternativa A está incorreta porque não representa corretamente a relação entre os raios dos cilindros com volumes iguais e alturas diferentes.
B

A alternativa B está correta, pois, ao igualar os volumes e considerar a altura da caixa B como 25% da altura da caixa A, chega-se que o raio da caixa B é o dobro do raio da caixa A ($r_B = 2R$).
C

A alternativa C está errada, pois sugere uma relação inadequada entre os raios, desconsiderando o ajuste necessário devido à diferença de alturas.
D

A alternativa D está incorreta porque não corresponde à relação matemática correta entre os raios dos cilindros com volumes iguais e alturas diferentes.
E

A alternativa E está errada, pois apresenta um valor que não resulta da equação de volumes iguais para cilindros com alturas em proporção de 25%.

Flashcards

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1. Qual é a fórmula do volume de um cilindro?: O volume de um cilindro é dado por $V = \pi r^2 h$, onde $r$ é o raio da base e $h$ é a altura.
2. Como volumes iguais de cilindros com alturas diferentes afetam seus raios?: Se dois cilindros têm volumes iguais, mas alturas diferentes, o raio do cilindro mais baixo deve ser maior para compensar a menor altura.
3. O que significa a altura ser 25% da outra em termos matemáticos?: Significa que $h_B = 0,25h_A$, ou seja, a altura da caixa B é um quarto da altura da caixa A.
4. Como isolar o raio em uma equação de volumes iguais de cilindros?: Iguale os volumes, substitua as alturas e resolva para o raio desejado usando álgebra.
5. Se $r_B^2 = 4R^2$, qual é a relação entre $r_B$ e $R$?: Se $r_B^2 = 4R^2$, então $r_B = 2R$.
6. Por que o fator de aumento do raio é a raiz quadrada do inverso da fração da altura?: Porque o volume depende do quadrado do raio; ao diminuir a altura, o raio precisa aumentar proporcionalmente à raiz quadrada do inverso dessa fração para manter o volume.
7. Como aplicar proporções em problemas de geometria espacial?: Identifique as grandezas relacionadas, escreva as equações e use proporções para encontrar as relações entre as variáveis desconhecidas.

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