O que é o princípio multiplicativo na análise combinatória?

É a regra que afirma que, para realizar duas ou mais etapas independentes, multiplica-se o número de possibilidades de cada etapa.

Por que a ordem importa ao escolher cargos diferentes para pessoas?

Porque cada cargo é distinto, então trocar as pessoas entre cargos gera diretorias diferentes.

Como aplicar restrições de não repetir casais em agrupamentos?

Ao escolher uma pessoa, elimina-se o cônjuge dela das opções seguintes, reduzindo o total de possibilidades.

Qual a diferença entre permutação e arranjo simples?

Permutação envolve todos os elementos disponíveis; arranjo simples envolve escolher e ordenar apenas parte deles.

Como calcular o número de maneiras de escolher pessoas de grupos distintos?

Multiplica-se o número de opções disponíveis em cada etapa, descontando as restrições impostas pelo enunciado.

Por que não se deve multiplicar por 2 ao final neste caso?

Porque a ordem dos cargos já está considerada e cada pessoa é única, não havendo duplicidade a ser compensada.

O que caracteriza uma combinação com restrição?

É uma seleção de elementos onde certas escolhas afetam as opções seguintes, como proibir dois membros do mesmo grupo.

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Questão 155 — Dez casais fundaram um grupo de dança e decidiram constituir uma diretoria com três cargos: presidente, secretário e tesoureiro. Para maior represent…

ENEM 2025 Questão 155

Fácil

Dez casais fundaram um grupo de dança e decidiram constituir uma diretoria com três cargos: presidente, secretário e tesoureiro. Para maior representatividade, decidiu-se que no máximo uma pessoa por casal poderá ocupar um cargo nessa diretoria.

Quantas diretorias diferentes podem ser constituídas por esses 10 casais?

Resolução

Resposta correta: Letra B — $20 \times 18 \times 16$

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Esta questão aborda análise combinatória, especificamente o princípio multiplicativo e restrições em agrupamentos. Temos 10 casais (20 pessoas) e precisamos escolher 3 pessoas para cargos distintos (presidente, secretário e tesoureiro), com a restrição de que não pode haver mais de uma pessoa do mesmo casal na diretoria. O raciocínio é: para o primeiro cargo (presidente), há 20 opções (qualquer pessoa). Após escolher o presidente, o cônjuge dele não pode mais ser escolhido, restando 18 pessoas para secretário. Após escolher o secretário, elimina-se também o cônjuge dele, restando 16 pessoas para tesoureiro. Como os cargos são distintos, a ordem importa. Assim, o total de diretorias possíveis é $20 \times 18 \times 16$.

Comentários por alternativa

A $10 \times 9 \times 8$

Errada. $10 \times 9 \times 8$ seria o número de formas de escolher 3 casais distintos, mas não considera que cada cargo pode ser ocupado por qualquer pessoa do casal e nem a ordem dos cargos.
B $20 \times 18 \times 16$

Correta. $20 \times 18 \times 16$ corresponde ao número de formas de escolher, em ordem, três pessoas de casais diferentes para cargos distintos, respeitando a restrição de no máximo um por casal.
C $20 \times 19 \times 18$

Errada. $20 \times 19 \times 18$ ignora a restrição de que, ao escolher uma pessoa, o cônjuge dela não pode ser escolhido para outro cargo.
D $10 \times 9 \times 8 \times 2$

Errada. $10 \times 9 \times 8 \times 2$ mistura a escolha de casais com a escolha de pessoas e multiplica por 2 sem justificativa combinatória correta.
E $20 \times 18 \times 16 \times 2$

Errada. $20 \times 18 \times 16 \times 2$ repete o cálculo correto, mas multiplica por 2 sem necessidade, superestimando o número de diretorias possíveis.

Flashcards

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1. O que é o princípio multiplicativo na análise combinatória?: É a regra que afirma que, para realizar duas ou mais etapas independentes, multiplica-se o número de possibilidades de cada etapa.
2. Por que a ordem importa ao escolher cargos diferentes para pessoas?: Porque cada cargo é distinto, então trocar as pessoas entre cargos gera diretorias diferentes.
3. Como aplicar restrições de não repetir casais em agrupamentos?: Ao escolher uma pessoa, elimina-se o cônjuge dela das opções seguintes, reduzindo o total de possibilidades.
4. Qual a diferença entre permutação e arranjo simples?: Permutação envolve todos os elementos disponíveis; arranjo simples envolve escolher e ordenar apenas parte deles.
5. Como calcular o número de maneiras de escolher pessoas de grupos distintos?: Multiplica-se o número de opções disponíveis em cada etapa, descontando as restrições impostas pelo enunciado.
6. Por que não se deve multiplicar por 2 ao final neste caso?: Porque a ordem dos cargos já está considerada e cada pessoa é única, não havendo duplicidade a ser compensada.
7. O que caracteriza uma combinação com restrição?: É uma seleção de elementos onde certas escolhas afetam as opções seguintes, como proibir dois membros do mesmo grupo.

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