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Questão 180 — Um hospital tem 7 médicos cardiologistas e 6 médicos neurologistas em seu quadro de funcionários. Para executar determinada atividade, a direção dess…

ENEM 2024 Questão 180

Um hospital tem 7 médicos cardiologistas e 6 médicos neurologistas em seu quadro de funcionários. Para executar determinada atividade, a direção desse hospital formará uma equipe com 5 médicos, sendo, pelo menos, 3 cardiologistas.

A expressão numérica que representa o número máximo de maneiras distintas de formar essa equipe é

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Resolução

Resposta correta: Letra E — $\left(\frac{7!}{3! \times 4!} \times \frac{6!}{2! \times 4!}\right) + \left(\frac{7!}{4! \times 3!} \times \frac{6!}{1! \times 5!}\right) + \left(\frac{7!}{5! \times 2!} \times \frac{6!}{0! \times 6!}\right)$

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A questão trata de análise combinatória, especificamente do cálculo do número de maneiras de formar equipes com restrições. O hospital possui 7 cardiologistas e 6 neurologistas, e a equipe deve ter 5 médicos, sendo pelo menos 3 cardiologistas. O raciocínio consiste em considerar todos os casos possíveis: (1) 3 cardiologistas e 2 neurologistas, (2) 4 cardiologistas e 1 neurologista, (3) 5 cardiologistas e 0 neurologista. Para cada caso, usamos combinações (fórmula: C(n, k) = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}) para escolher os médicos de cada especialidade e somamos os resultados, pois são casos mutuamente exclusivos. A alternativa correta (E) representa exatamente essa soma dos três casos, cada termo sendo o produto das combinações para cardiologistas e neurologistas em cada cenário.

Comentários por alternativa

  1. A $\frac{7!}{4!} \times \frac{6!}{4!}$
    A alternativa A está errada porque não usa corretamente a fórmula de combinação para escolher 3 cardiologistas e 2 neurologistas; os denominadores não correspondem ao número de escolhidos.
  2. B $\frac{7!}{3! \times 4!} \times \frac{6!}{2! \times 4!}$
    A alternativa B está incorreta pois soma combinações de cardiologistas e neurologistas de forma independente, sem considerar que a equipe deve ter 5 médicos no total em cada caso.
  3. C $\frac{7!}{3! \times 4!} + \frac{6!}{2! \times 4!} + \frac{5!}{1! \times 4!}$
    A alternativa C está errada porque soma combinações de cardiologistas, neurologistas e um termo extra sem multiplicar as escolhas de cada especialidade, o que não representa a formação da equipe completa.
  4. D $\left(\frac{7!}{3! \times 4!} + \frac{6!}{2! \times 4!}\right) \times \left(\frac{7!}{4! \times 3!} + \frac{6!}{1! \times 5!}\right) \times \left(\frac{7!}{5! \times 2!} + \frac{6!}{0! \times 6!}\right)$
    A alternativa D está incorreta porque multiplica somas de combinações de forma inadequada, misturando casos que deveriam ser somados, não multiplicados.
  5. E $\left(\frac{7!}{3! \times 4!} \times \frac{6!}{2! \times 4!}\right) + \left(\frac{7!}{4! \times 3!} \times \frac{6!}{1! \times 5!}\right) + \left(\frac{7!}{5! \times 2!} \times \frac{6!}{0! \times 6!}\right)$
    A alternativa E está correta pois soma os três casos possíveis: (3 cardiologistas e 2 neurologistas), (4 cardiologistas e 1 neurologista), (5 cardiologistas e 0 neurologista), multiplicando corretamente as combinações de cada especialidade em cada cenário, conforme exige o princípio multiplicativo da análise combinatória.

Flashcards

Perguntas pontuais sobre o tema desta questão. Toque no card para virar e use as setas para navegar.

1 / 7
1. O que é uma combinação simples em análise combinatória?
É uma seleção de elementos de um conjunto, sem considerar a ordem, dada por C(n, k) = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}.
2. Quando se usa o princípio multiplicativo em problemas de contagem?
Quando uma escolha depende de duas ou mais etapas independentes, multiplicamos o número de opções de cada etapa.
3. Como calcular o número de equipes com pelo menos 3 cardiologistas entre 5 médicos?
Considerando os casos possíveis (3, 4 ou 5 cardiologistas) e somando as combinações de cada caso.
4. Por que somamos os casos distintos ao invés de multiplicar?
Porque cada caso é mutuamente exclusivo; não podem ocorrer simultaneamente.
5. Qual a diferença entre combinação e permutação?
Na combinação a ordem não importa; na permutação, sim.
6. Como se representa a combinação de n elementos tomados k a k?
Por C(n, k) = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}.
7. O que significa 'pelo menos' em problemas de contagem?
'Pelo menos' indica que devemos considerar todos os casos a partir de um valor mínimo até o máximo possível.

Treino guiado

Detonando o Tema

O DIMVS vai preparar 3 perguntas sobre o mesmo tema desta questão: uma fácil, uma média e uma difícil.

1. Comece pelo fácil 2. Suba para o médio 3. Feche no difícil

Ao responder, você vê a resolução, comentários das alternativas e flashcards. No fim, o resultado mostra seu domínio do tema.

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