O que é uma combinação simples em análise combinatória?

É uma seleção de elementos de um conjunto, sem considerar a ordem, dada por C(n, k) = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}.

Quando se usa o princípio multiplicativo em problemas de contagem?

Quando uma escolha depende de duas ou mais etapas independentes, multiplicamos o número de opções de cada etapa.

Como calcular o número de equipes com pelo menos 3 cardiologistas entre 5 médicos?

Considerando os casos possíveis (3, 4 ou 5 cardiologistas) e somando as combinações de cada caso.

Por que somamos os casos distintos ao invés de multiplicar?

Porque cada caso é mutuamente exclusivo; não podem ocorrer simultaneamente.

Qual a diferença entre combinação e permutação?

Na combinação a ordem não importa; na permutação, sim.

Como se representa a combinação de n elementos tomados k a k?

Por C(n, k) = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}.

O que significa 'pelo menos' em problemas de contagem?

'Pelo menos' indica que devemos considerar todos os casos a partir de um valor mínimo até o máximo possível.

Ciências Humanas e suas Tecnologias

A expressão numérica que representa o número máximo de maneiras distintas de formar essa equipe é

ENEM 2024 Questão 180

Um hospital tem 7 médicos cardiologistas e 6 médicos neurologistas em seu quadro de funcionários. Para executar determinada atividade, a direção desse hospital formará uma equipe com 5 médicos, sendo, pelo menos, 3 cardiologistas.

Resolução

A questão trata de análise combinatória, especificamente do cálculo do número de maneiras de formar equipes com restrições. O hospital possui 7 cardiologistas e 6 neurologistas, e a equipe deve ter 5 médicos, sendo pelo menos 3 cardiologistas. O raciocínio consiste em considerar todos os casos possíveis: (1) 3 cardiologistas e 2 neurologistas, (2) 4 cardiologistas e 1 neurologista, (3) 5 cardiologistas e 0 neurologista. Para cada caso, usamos combinações (fórmula: C(n, k) = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}) para escolher os médicos de cada especialidade e somamos os resultados, pois são casos mutuamente exclusivos. A alternativa correta (E) representa exatamente essa soma dos três casos, cada termo sendo o produto das combinações para cardiologistas e neurologistas em cada cenário.

Comentários por alternativa

A $\frac{7!}{4!} \times \frac{6!}{4!}$

A alternativa A está errada porque não usa corretamente a fórmula de combinação para escolher 3 cardiologistas e 2 neurologistas; os denominadores não correspondem ao número de escolhidos.
B $\frac{7!}{3! \times 4!} \times \frac{6!}{2! \times 4!}$

A alternativa B está incorreta pois soma combinações de cardiologistas e neurologistas de forma independente, sem considerar que a equipe deve ter 5 médicos no total em cada caso.
C $\frac{7!}{3! \times 4!} + \frac{6!}{2! \times 4!} + \frac{5!}{1! \times 4!}$

A alternativa C está errada porque soma combinações de cardiologistas, neurologistas e um termo extra sem multiplicar as escolhas de cada especialidade, o que não representa a formação da equipe completa.
D $\left(\frac{7!}{3! \times 4!} + \frac{6!}{2! \times 4!}\right) \times \left(\frac{7!}{4! \times 3!} + \frac{6!}{1! \times 5!}\right) \times \left(\frac{7!}{5! \times 2!} + \frac{6!}{0! \times 6!}\right)$

A alternativa D está incorreta porque multiplica somas de combinações de forma inadequada, misturando casos que deveriam ser somados, não multiplicados.
E $\left(\frac{7!}{3! \times 4!} \times \frac{6!}{2! \times 4!}\right) + \left(\frac{7!}{4! \times 3!} \times \frac{6!}{1! \times 5!}\right) + \left(\frac{7!}{5! \times 2!} \times \frac{6!}{0! \times 6!}\right)$

A alternativa E está correta pois soma os três casos possíveis: (3 cardiologistas e 2 neurologistas), (4 cardiologistas e 1 neurologista), (5 cardiologistas e 0 neurologista), multiplicando corretamente as combinações de cada especialidade em cada cenário, conforme exige o princípio multiplicativo da análise combinatória.

Flashcards

Perguntas pontuais sobre o tema desta questão. Toque no card para virar e use as setas para navegar.

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1. O que é uma combinação simples em análise combinatória?: É uma seleção de elementos de um conjunto, sem considerar a ordem, dada por C(n, k) = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}.
2. Quando se usa o princípio multiplicativo em problemas de contagem?: Quando uma escolha depende de duas ou mais etapas independentes, multiplicamos o número de opções de cada etapa.
3. Como calcular o número de equipes com pelo menos 3 cardiologistas entre 5 médicos?: Considerando os casos possíveis (3, 4 ou 5 cardiologistas) e somando as combinações de cada caso.
4. Por que somamos os casos distintos ao invés de multiplicar?: Porque cada caso é mutuamente exclusivo; não podem ocorrer simultaneamente.
5. Qual a diferença entre combinação e permutação?: Na combinação a ordem não importa; na permutação, sim.
6. Como se representa a combinação de n elementos tomados k a k?: Por C(n, k) = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}.
7. O que significa 'pelo menos' em problemas de contagem?: 'Pelo menos' indica que devemos considerar todos os casos a partir de um valor mínimo até o máximo possível.