O que é uma permutação simples?

Permutação simples é o número de maneiras de ordenar n elementos distintos, dado por n!.

Como calcular o número de maneiras de escolher k elementos distintos de um conjunto de n elementos, considerando a ordem?

Usa-se a permutação sem repetição: n \times (n-1) \times ... \times (n-k+1).

Qual a diferença entre combinação e arranjo?

Na combinação a ordem não importa, no arranjo (ou permutação de k elementos) a ordem importa.

O que significa 'caracteres distintos' em uma senha?

Significa que não pode haver repetição dos mesmos caracteres na senha.

Como identificar as letras disponíveis em um teclado alfanumérico de telefone?

Cada tecla numérica (exceto 1 e 0) geralmente possui um conjunto de letras associadas, como 2: A, B, C; 5: J, K, L; 7: P, Q, R, S.

Por que multiplicamos as possibilidades de cada etapa ao calcular o total de senhas?

Porque cada escolha é independente e para cada combinação anterior todas as opções seguintes são possíveis (princípio multiplicativo).

O que é o princípio multiplicativo na análise combinatória?

É a regra que afirma que, se uma tarefa pode ser feita de m maneiras e outra de n maneiras, juntas podem ser feitas de m \times n maneiras.

Ciências Humanas e suas Tecnologias

O número de possibilidades diferentes que esse funcionário tem para cadastrar sua senha é

ENEM 2024 Questão 138

Para abrir a porta de uma empresa, cada funcionário deve cadastrar uma senha utilizando um teclado alfanumérico como o representado na figura.

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Por exemplo: a tecla que contém o número $2$ traz as letras correlacionadas A, B e C. Cada toque nessa tecla mostra, sequencialmente, os seguintes caracteres: $2$, A, B e C. Para os próximos toques, essa sequência se repete. As demais teclas funcionam da mesma maneira. As senhas a serem cadastradas pelos funcionários devem conter $5$ caracteres, sendo $2$ algarismos distintos seguidos de $3$ letras diferentes, nessa ordem. Um funcionário irá cadastrar a sua primeira senha, podendo escolher entre as teclas que apresentam os números $1$, $2$, $5$, $7$ e $0$ e as respectivas letras correlacionadas, quando houver.

O número de possibilidades diferentes que esse funcionário tem para cadastrar sua senha é

Resolução

A questão aborda análise combinatória, especificamente o cálculo do número de senhas possíveis sob restrições. O funcionário deve criar uma senha de 5 caracteres: os 2 primeiros são algarismos distintos e os 3 seguintes são letras diferentes, todos escolhidos apenas entre as teclas 1, 2, 5, 7 e 0 e suas letras correlacionadas. Primeiro, identificamos quais algarismos e letras estão disponíveis: os números são 1, 2, 5, 7, 0; as letras são as associadas a essas teclas (1 não tem letra, 2 tem A, B, C; 5 tem J, K, L; 7 tem P, Q, R, S; 0 tem espaço, mas normalmente não há letra associada). Considerando apenas letras, temos: A, B, C, J, K, L, P, Q, R, S (total de 10 letras). Para os dois primeiros dígitos, escolhemos 2 números distintos entre 5, e ordenamos: $5 \times 4 = 20$. Para as três letras seguintes, escolhemos 3 letras diferentes entre 10 e ordenamos: $10 \times 9 \times 8 = 720$. Multiplicando as possibilidades: $20 \times 720 = 14\,400$. Assim, a alternativa correta é a B.

Comentários por alternativa

A 11520.

A alternativa A está incorreta porque subestima o número total de combinações possíveis, provavelmente por erro ao calcular as permutações das letras ou dos números.
B 14400.

A alternativa B está correta. O cálculo correto é: 5 opções para o primeiro número, 4 para o segundo (distintos e ordenados), 10 opções para a primeira letra, 9 para a segunda e 8 para a terceira (todas diferentes e ordenadas), totalizando $5 \times 4 \times 10 \times 9 \times 8 = 14\,400$.
C 18000.

A alternativa C está errada porque superestima as possibilidades, talvez por permitir repetição de letras ou números, o que não é permitido pela questão.
D 312000.

A alternativa D está incorreta, pois considera um número muito maior de combinações, provavelmente desconsiderando as restrições de não repetição ou incluindo teclas/letras que não estão disponíveis.
E 390000.

A alternativa E está errada, pois também apresenta um valor muito acima do correto, indicando erro no entendimento das restrições ou no cálculo das permutações.

Flashcards

Perguntas pontuais sobre o tema desta questão. Toque no card para virar e use as setas para navegar.

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1. O que é uma permutação simples?: Permutação simples é o número de maneiras de ordenar n elementos distintos, dado por n!.
2. Como calcular o número de maneiras de escolher k elementos distintos de um conjunto de n elementos, considerando a ordem?: Usa-se a permutação sem repetição: n \times (n-1) \times ... \times (n-k+1).
3. Qual a diferença entre combinação e arranjo?: Na combinação a ordem não importa, no arranjo (ou permutação de k elementos) a ordem importa.
4. O que significa 'caracteres distintos' em uma senha?: Significa que não pode haver repetição dos mesmos caracteres na senha.
5. Como identificar as letras disponíveis em um teclado alfanumérico de telefone?: Cada tecla numérica (exceto 1 e 0) geralmente possui um conjunto de letras associadas, como 2: A, B, C; 5: J, K, L; 7: P, Q, R, S.
6. Por que multiplicamos as possibilidades de cada etapa ao calcular o total de senhas?: Porque cada escolha é independente e para cada combinação anterior todas as opções seguintes são possíveis (princípio multiplicativo).
7. O que é o princípio multiplicativo na análise combinatória?: É a regra que afirma que, se uma tarefa pode ser feita de m maneiras e outra de n maneiras, juntas podem ser feitas de m \times n maneiras.