O que é uma combinação simples?

Combinação simples é o agrupamento de elementos em que a ordem não importa, calculada por \( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

Como aplicar o princípio multiplicativo em problemas de contagem?

Multiplica-se o número de opções de cada etapa sucessiva quando as escolhas são independentes entre si.

Qual a diferença entre permutação e combinação?

Permutação considera a ordem dos elementos, enquanto combinação não considera a ordem.

Como tratar restrições em problemas de distribuição de objetos?

Primeiro, resolve-se as restrições específicas, depois distribui-se o restante normalmente.

O que significa 'objetos distintos' em análise combinatória?

Significa que cada objeto é único e identificável, afetando o número de maneiras de distribuí-los.

Como calcular o número de maneiras de distribuir presentes distintos entre pessoas?

Usa-se combinações para selecionar presentes para cada pessoa, respeitando as quantidades e restrições.

Por que é importante considerar as restrições antes de calcular as combinações?

Porque restrições podem eliminar possibilidades, alterando o total de maneiras possíveis e evitando contagem dupla ou inválida.

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Questão 175 — Um pai comprou oito presentes diferentes (dentre os quais, uma bicicleta e um celular) para dar a seus três filhos. Ele pretende distribuir os presen…

ENEM 2025 Questão 175

Fácil

Um pai comprou oito presentes diferentes (dentre os quais, uma bicicleta e um celular) para dar a seus três filhos. Ele pretende distribuir os presentes de modo que o filho mais velho e o mais novo recebam três presentes cada um, e o do meio receba os dois presentes restantes. O mais velho ganhará, entre seus presentes, ou uma bicicleta ou um celular, mas não ambos.

De quantas maneiras distintas a distribuição dos presentes pode ser feita?

Resolução

Resposta correta: Letra C — 300

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Esta questão envolve análise combinatória, mais especificamente o cálculo do número de maneiras de distribuir objetos distintos (presentes) entre pessoas, com restrições. Os conceitos principais são: permutação de objetos distintos, combinação, princípio multiplicativo e restrição de escolha. O pai tem 8 presentes diferentes para distribuir entre 3 filhos, com o mais velho e o mais novo recebendo 3 presentes cada, e o do meio recebendo 2. Além disso, o mais velho deve receber ou a bicicleta ou o celular, mas não ambos. O passo a passo é: 1) Escolher se o mais velho recebe a bicicleta ou o celular (2 opções); 2) Escolher os outros 2 presentes que o mais velho vai receber, dentre os 6 restantes (\( \binom{6}{2} = 15 \)); 3) Do restante (5 presentes), escolher 3 para o mais novo (\( \binom{5}{3} = 10 \)); 4) Os 2 presentes restantes vão para o filho do meio (1 jeito). Multiplicando: \( 2 \times 15 \times 10 = 300 \) maneiras distintas.

Comentários por alternativa

A 36

A alternativa A (36) está incorreta, pois subestima drasticamente o número de possibilidades, provavelmente ignorando o princípio multiplicativo ou as combinações corretas.
B 53

A alternativa B (53) está errada, pois não corresponde à contagem correta das combinações possíveis, indicando erro no tratamento das restrições ou na ordem dos passos.
C 300

A alternativa C (300) está correta. Ela considera corretamente as restrições: 2 escolhas para o presente especial do mais velho, 15 maneiras de escolher os outros 2 presentes para ele, 10 maneiras de distribuir 3 presentes ao mais novo, e 1 para o filho do meio. Multiplicando, chega-se a 300.
D 360

A alternativa D (360) está incorreta, pois provavelmente ignora a restrição de que o mais velho não pode receber os dois presentes especiais ao mesmo tempo.
E 560

A alternativa E (560) está errada, pois superestima as possibilidades, desconsiderando as restrições impostas pelo enunciado sobre os presentes especiais.

Flashcards

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1. O que é uma combinação simples?: Combinação simples é o agrupamento de elementos em que a ordem não importa, calculada por \( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).
2. Como aplicar o princípio multiplicativo em problemas de contagem?: Multiplica-se o número de opções de cada etapa sucessiva quando as escolhas são independentes entre si.
3. Qual a diferença entre permutação e combinação?: Permutação considera a ordem dos elementos, enquanto combinação não considera a ordem.
4. Como tratar restrições em problemas de distribuição de objetos?: Primeiro, resolve-se as restrições específicas, depois distribui-se o restante normalmente.
5. O que significa 'objetos distintos' em análise combinatória?: Significa que cada objeto é único e identificável, afetando o número de maneiras de distribuí-los.
6. Como calcular o número de maneiras de distribuir presentes distintos entre pessoas?: Usa-se combinações para selecionar presentes para cada pessoa, respeitando as quantidades e restrições.
7. Por que é importante considerar as restrições antes de calcular as combinações?: Porque restrições podem eliminar possibilidades, alterando o total de maneiras possíveis e evitando contagem dupla ou inválida.

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