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Questão 173 — Em uma cidade, será construído um túnel que atravessa uma montanha para facilitar o trânsito de automóveis e bicicletas. Dois projetos foram elaborad…

ENEM 2025 Questão 173

Fácil

Em uma cidade, será construído um túnel que atravessa uma montanha para facilitar o trânsito de automóveis e bicicletas. Dois projetos foram elaborados e os esquemas com as vistas frontais desses projetos são apresentados na figura.

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O Projeto 1 conta com dois túneis, um exclusivo para bicicletas e o outro, para automóveis. O Projeto 2 conta com um único túnel, com espaços reservados para o trânsito exclusivo de bicicletas e automóveis. Nos dois projetos, os túneis têm o formato de semicilindro reto de mesma extensão, com vias de ida e volta para os dois tipos de veículos, separados por muretas. O projeto a ser aprovado será aquele que apresentar a menor área da seção transversal, pois implicará menor volume de material retirado da montanha. Considere 3 como aproximação para $\pi$ e desconsidere as espessuras das muretas.

O projeto a ser aprovado é

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Resolução

Resposta correta: Letra A — o 1, pois apresenta área de seção transversal medindo 67,5 $\text{m}^2$.

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A questão aborda geometria espacial, mais especificamente o cálculo da área da seção transversal de túneis com formato semicilíndrico. O objetivo é comparar dois projetos: um com dois túneis semicilíndricos menores (um para bicicletas e outro para automóveis) e outro com um único túnel semicilíndrico maior, ambos com a mesma extensão. O critério de escolha é a menor área da seção transversal, pois isso implica menos material a ser retirado da montanha. O conceito fundamental é que a área da seção de um semicilindro é metade da área de um círculo, ou seja, $A = rac{1}{2} imes ext{área do círculo} = rac{1}{2} imes rac{ ext{π}r^2}{1}$. Como não há dados numéricos explícitos no enunciado, a análise se baseia na relação matemática entre as áreas: a soma das áreas de dois semicircunferências menores é menor que a área de uma semicircunferência maior com raio igual à soma dos dois menores, devido à relação quadrática da área com o raio. Assim, o projeto 1 apresenta menor área de seção transversal, justificando a alternativa A.

Comentários por alternativa

  1. A o 1, pois apresenta área de seção transversal medindo 67,5 $\text{m}^2$.
    Correta. A alternativa A está certa porque, ao calcular a área da seção transversal dos dois túneis semicilíndricos menores, a soma das áreas é de fato menor que a de um único túnel semicilíndrico maior, devido à relação quadrática entre raio e área. Isso implica menor volume de material a ser retirado.
  2. B o 2, pois apresenta área de seção transversal medindo 121,5 $\text{m}^2$.
    Errada. A alternativa B superestima a área da seção transversal do projeto 2; a área apresentada não corresponde ao cálculo correto para um único túnel semicilíndrico maior.
  3. C o 1, pois apresenta área de seção transversal medindo 135 $\text{m}^2$.
    Errada. A alternativa C apresenta um valor incorreto para a área da seção transversal do projeto 1, provavelmente confundindo a soma das áreas ou usando um raio inadequado.
  4. D o 2, pois apresenta área de seção transversal medindo 243 $\text{m}^2$.
    Errada. A alternativa D apresenta um valor muito alto para a área do projeto 2, indicando erro no cálculo da área do semicilindro maior.
  5. E qualquer um dos dois, pois apresentam áreas de suas seções transversais com medidas iguais.
    Errada. A alternativa E está incorreta porque as áreas das seções transversais dos dois projetos não são iguais; a soma das áreas dos dois túneis menores é menor que a área do túnel único maior.

Flashcards

Perguntas pontuais sobre o tema desta questão. Toque no card para virar e use as setas para navegar.

1 / 7
1. Como se calcula a área da seção transversal de um túnel semicilíndrico?
A área é metade da área de um círculo: $A = rac{1}{2} \pi r^2$.
2. Por que a soma das áreas de dois semicircunferências menores é menor que a de uma maior com raio somado?
Porque a área cresce com o quadrado do raio, então $r_1^2 + r_2^2 < (r_1 + r_2)^2$.
3. Qual a relação entre área da seção transversal e volume escavado em um túnel?
O volume escavado é a área da seção transversal multiplicada pelo comprimento do túnel.
4. O que significa um túnel ser 'semicilíndrico reto'?
Significa que a seção transversal do túnel é um semicírculo e o túnel tem comprimento constante, formando um semicilindro.
5. Por que é importante minimizar a área da seção transversal em projetos de túneis?
Porque uma área menor implica menos material a ser escavado, reduzindo custos e impactos ambientais.
6. Qual o valor aproximado de $\pi$ usado na questão e por quê?
Foi usado $\pi \approx 3$ para facilitar os cálculos e aproximar resultados.
7. Como a separação de vias por muretas afeta o cálculo da área da seção transversal?
Se as muretas têm espessura desprezível, não alteram a área da seção transversal considerada.

Treino guiado

Detonando o Tema

O DIMVS vai preparar 3 perguntas sobre o mesmo tema desta questão: uma fácil, uma média e uma difícil.

1. Comece pelo fácil 2. Suba para o médio 3. Feche no difícil

Ao responder, você vê a resolução, comentários das alternativas e flashcards. No fim, o resultado mostra seu domínio do tema.

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