Como calcular a área de um hexágono regular em função do lado?

A área é $A = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$, onde $a$ é o lado do hexágono.

Qual é a relação entre perímetro e lado em um polígono regular de $n$ lados?

O lado é $a = \frac{k}{n}$, onde $k$ é o perímetro total.

Por que, para um mesmo perímetro, polígonos com mais lados cercam áreas maiores?

Porque quanto mais lados, mais o polígono se aproxima de um círculo, que é a figura de maior área para um dado perímetro.

Qual a fórmula da área de um triângulo equilátero em função do lado $a$?

A área é $A = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Como calcular a área de um quadrado em função do perímetro $k$?

O lado é $a = \frac{k}{4}$ e a área é $A = a^2 = \frac{k^2}{16}$.

Qual a área máxima que pode ser cercada com um perímetro fixo usando polígonos regulares?

A área máxima é obtida com o polígono de maior número de lados disponível, neste caso, o hexágono regular.

Como expressar a área de um triângulo equilátero em função do perímetro $k$?

Com $a = \frac{k}{3}$, a área é $A = \frac{k^2\sqrt{3}}{36}$.

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O jardineiro escolherá a forma de

ENEM 2024 Questão 171

Um jardineiro dispõe de $k$ metros lineares de cerca baixa para fazer um jardim ornamental. O jardim, delimitado por essa cerca, deve ter a forma de um triângulo equilátero, um quadrado ou um hexágono regular. A escolha será pela forma que resulte na maior área.

Resolução

A questão trata de otimização geométrica: dado um comprimento fixo de cerca ($k$ metros), qual polígono regular (triângulo equilátero, quadrado ou hexágono regular) permite cercar a maior área? Para resolver, é preciso saber calcular a área desses polígonos em função do perímetro (no caso, $k$). O raciocínio envolve: 1) expressar o lado de cada polígono em função de $k$ (pois perímetro = número de lados × lado); 2) substituir esse valor na fórmula da área de cada polígono regular; 3) comparar as áreas obtidas para decidir qual é a maior. O hexágono regular, para um mesmo perímetro, sempre terá área maior que o triângulo e o quadrado, pois quanto maior o número de lados de um polígono regular, maior a área que ele consegue cercar com o mesmo perímetro. Calculando: para o hexágono, lado $a = \frac{k}{6}$ e área $A = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$, resultando em $A = \frac{k^2\sqrt{3}}{24}$. Portanto, a resposta correta é a alternativa A.

Comentários por alternativa

A hexágono regular, pois a área do jardim, em metro quadrado, será $\frac{k^2\sqrt{3}}{24}$.

Correta. O hexágono regular, para um mesmo perímetro, realmente permite a maior área. O cálculo da área está correto: lado $a = \frac{k}{6}$, área $A = 6 \times \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$, substituindo $a$ resulta em $A = \frac{k^2\sqrt{3}}{24}$.
B hexágono regular, pois a área do jardim, em metro quadrado, será $\frac{3k^2\sqrt{3}}{2}$.

Errada. Embora o hexágono seja a melhor escolha, a expressão da área está incorreta: $\frac{3k^2\sqrt{3}}{2}$ não corresponde à área de um hexágono regular com perímetro $k$.
C quadrado, pois a área do jardim, em metro quadrado, será $\frac{k^2}{16}$.

Errada. O quadrado não é a melhor escolha, pois sua área $A = \frac{k^2}{16}$ é menor que a do hexágono para o mesmo perímetro.
D triângulo equilátero, pois a área do jardim, em metro quadrado, será $\frac{k^2\sqrt{3}}{36}$.

Errada. O triângulo equilátero não é a melhor escolha, e a área $\frac{k^2\sqrt{3}}{36}$ é menor que a do hexágono.
E triângulo equilátero, pois a área do jardim, em metro quadrado, será $\frac{k^2\sqrt{3}}{4}$.

Errada. A área apresentada ($\frac{k^2\sqrt{3}}{4}$) não corresponde ao triângulo equilátero com perímetro $k$; além disso, o triângulo não é a melhor escolha.

Flashcards

Perguntas pontuais sobre o tema desta questão. Toque no card para virar e use as setas para navegar.

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1. Como calcular a área de um hexágono regular em função do lado?: A área é $A = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$, onde $a$ é o lado do hexágono.
2. Qual é a relação entre perímetro e lado em um polígono regular de $n$ lados?: O lado é $a = \frac{k}{n}$, onde $k$ é o perímetro total.
3. Por que, para um mesmo perímetro, polígonos com mais lados cercam áreas maiores?: Porque quanto mais lados, mais o polígono se aproxima de um círculo, que é a figura de maior área para um dado perímetro.
4. Qual a fórmula da área de um triângulo equilátero em função do lado $a$?: A área é $A = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
5. Como calcular a área de um quadrado em função do perímetro $k$?: O lado é $a = \frac{k}{4}$ e a área é $A = a^2 = \frac{k^2}{16}$.
6. Qual a área máxima que pode ser cercada com um perímetro fixo usando polígonos regulares?: A área máxima é obtida com o polígono de maior número de lados disponível, neste caso, o hexágono regular.
7. Como expressar a área de um triângulo equilátero em função do perímetro $k$?: Com $a = \frac{k}{3}$, a área é $A = \frac{k^2\sqrt{3}}{36}$.