Como se calcula a área de um setor circular?

A área de um setor circular é dada por $A = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi R^2$, onde $\alpha$ é o ângulo central em graus e R é o raio.

Por que aumentar o ângulo $\alpha$ ou o raio R aumenta a área do setor?

Porque a área é diretamente proporcional tanto ao ângulo $\alpha$ quanto ao quadrado do raio R.

Qual a vantagem de escolher o menor sensor que atende à área mínima exigida?

O menor sensor que cobre a área mínima exigida geralmente é o mais econômico, pois sensores maiores tendem a ser mais caros.

Por que se usa $\pi \approx 3$ em cálculos aproximados?

Usar $\pi \approx 3$ simplifica os cálculos e é suficiente para estimativas rápidas em provas e situações práticas.

O que acontece se o sensor escolhido cobre área menor que a exigida?

O sensor não atenderá à necessidade de proteção, pois deixará regiões descobertas.

Se dois sensores cobrem áreas suficientes, qual critério usar para escolher entre eles?

Deve-se escolher o sensor que cobre a área mínima necessária, pois tende a ser mais barato e eficiente.

Como converter graus para fração de círculo em setores circulares?

Divide-se o ângulo em graus por 360 para obter a fração do círculo correspondente ao setor.

Ciências Humanas e suas Tecnologias

O proprietário do imóvel deverá adquirir o sensor do tipo

ENEM 2024 Questão 155

Um proprietário pretende instalar um sensor de presença para a proteção de seu imóvel. O sensor deverá detectar movimentos de objetos e pessoas numa determinada região plana. A figura ilustra a vista superior da área de cobertura (setor circular em azul) de um sensor colocado no ponto $S$. Essa área depende da medida do ângulo $\alpha$, em grau, e do raio $R$, em metro.

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Ao aumentar o ângulo $\alpha$ ou o raio $R$ aumenta-se a área de cobertura do sensor. Entretanto, quanto maior essa área, maior o preço do sensor. Para esse fim, há cinco tipos de sensores disponíveis no mercado, cada um com as seguintes características: • tipo I: $\alpha = 15^\circ$ e $R = 20\text{ m}$; • tipo II: $\alpha = 30^\circ$ e $R = 22\text{ m}$; • tipo III: $\alpha = 40^\circ$ e $R = 12\text{ m}$; • tipo IV: $\alpha = 60^\circ$ e $R = 16\text{ m}$; • tipo V: $\alpha = 90^\circ$ e $R = 10\text{ m}$. Esse proprietário pretende adquirir um desses sensores que seja capaz de cobrir, no mínimo, uma área de medida $70\text{ m}^2$, com o menor preço possível. Use 3 como valor aproximado para $\pi$.

O proprietário do imóvel deverá adquirir o sensor do tipo

Resolução

A questão aborda o cálculo da área de um setor circular, conceito fundamental de geometria plana. O objetivo é determinar qual sensor, entre cinco opções com diferentes ângulos de abertura ($\alpha$) e raios (R), cobre pelo menos 70 m² ao menor custo (ou seja, o menor sensor que atenda à exigência). A área de um setor circular é dada por $A = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi R^2$. Para cada sensor, substituímos os valores de $\alpha$ e R, usando $\pi \approx 3$, e comparamos os resultados à área mínima exigida. O sensor do tipo IV é o menor que cobre pelo menos 70 m², pois os tipos I, II e III não atingem essa área, e o tipo V cobre mais, porém é desnecessariamente maior (e, portanto, mais caro).

Comentários por alternativa

A I.

A alternativa A está errada porque o sensor do tipo I cobre apenas $A = \frac{15}{360} \times 3 \times 20^2 = \frac{1}{24} \times 3 \times 400 = \frac{1}{24} \times 1200 = 50$ m², que é menor que 70 m².
B II.

A alternativa B está errada pois o sensor do tipo II cobre $A = \frac{30}{360} \times 3 \times 22^2 = \frac{1}{12} \times 3 \times 484 = \frac{1}{12} \times 1452 = 121$ m², que é maior que 70 m², mas o tipo IV cobre a área mínima com menor raio e ângulo, sendo mais econômico.
C III.

A alternativa C está errada porque o sensor do tipo III cobre $A = \frac{40}{360} \times 3 \times 12^2 = \frac{1}{9} \times 3 \times 144 = \frac{1}{9} \times 432 = 48$ m², insuficiente para a exigência.
D IV.

A alternativa D está correta pois o sensor do tipo IV cobre $A = \frac{60}{360} \times 3 \times 16^2 = \frac{1}{6} \times 3 \times 256 = \frac{1}{6} \times 768 = 128$ m², atendendo ao requisito de pelo menos 70 m² e sendo o sensor mais econômico dentre os que cumprem essa exigência.
E V.

A alternativa E está errada porque, embora o sensor do tipo V cubra $A = \frac{90}{360} \times 3 \times 10^2 = \frac{1}{4} \times 3 \times 100 = 75$ m², que é suficiente, o tipo IV já cobre mais que o mínimo necessário com menor raio e ângulo, sendo mais barato.

Flashcards

Perguntas pontuais sobre o tema desta questão. Toque no card para virar e use as setas para navegar.

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1. Como se calcula a área de um setor circular?: A área de um setor circular é dada por $A = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi R^2$, onde $\alpha$ é o ângulo central em graus e R é o raio.
2. Por que aumentar o ângulo $\alpha$ ou o raio R aumenta a área do setor?: Porque a área é diretamente proporcional tanto ao ângulo $\alpha$ quanto ao quadrado do raio R.
3. Qual a vantagem de escolher o menor sensor que atende à área mínima exigida?: O menor sensor que cobre a área mínima exigida geralmente é o mais econômico, pois sensores maiores tendem a ser mais caros.
4. Por que se usa $\pi \approx 3$ em cálculos aproximados?: Usar $\pi \approx 3$ simplifica os cálculos e é suficiente para estimativas rápidas em provas e situações práticas.
5. O que acontece se o sensor escolhido cobre área menor que a exigida?: O sensor não atenderá à necessidade de proteção, pois deixará regiões descobertas.
6. Se dois sensores cobrem áreas suficientes, qual critério usar para escolher entre eles?: Deve-se escolher o sensor que cobre a área mínima necessária, pois tende a ser mais barato e eficiente.
7. Como converter graus para fração de círculo em setores circulares?: Divide-se o ângulo em graus por 360 para obter a fração do círculo correspondente ao setor.