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Questão 155 — Um proprietário pretende instalar um sensor de presença para a proteção de seu imóvel. O sensor deverá detectar movimentos de objetos e pessoas numa…

ENEM 2024 Questão 155

Um proprietário pretende instalar um sensor de presença para a proteção de seu imóvel. O sensor deverá detectar movimentos de objetos e pessoas numa determinada região plana. A figura ilustra a vista superior da área de cobertura (setor circular em azul) de um sensor colocado no ponto S. Essa área depende da medida do ângulo α, em grau, e do raio R, em metro.

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Imagem da questão

Ao aumentar o ângulo α ou o raio R aumenta-se a área de cobertura do sensor. Entretanto, quanto maior essa área, maior o preço do sensor. Para esse fim, há cinco tipos de sensores disponíveis no mercado, cada um com as seguintes características: • tipo I: α = 15° e R = 20 m; • tipo II: α = 30° e R = 22 m; • tipo III: α = 40° e R = 12 m; • tipo IV: α = 60° e R = 16 m; • tipo V: α = 90° e R = 10 m. Esse proprietário pretende adquirir um desses sensores que seja capaz de cobrir, no mínimo, uma área de medida 70 m², com o menor preço possível. Use 3 como valor aproximado para π.

O proprietário do imóvel deverá adquirir o sensor do tipo

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Resolução

Resposta correta: Letra D — IV.

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A questão aborda o cálculo da área de um setor circular, conceito fundamental de geometria plana. O objetivo é determinar qual sensor, entre cinco opções com diferentes ângulos de abertura (\(\alpha\)) e raios (R), cobre pelo menos 70 m² ao menor custo (ou seja, o menor sensor que atenda à exigência). A área de um setor circular é dada por \(A = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi R^2\). Para cada sensor, substituímos os valores de \(\alpha\) e R, usando \(\pi \approx 3\), e comparamos os resultados à área mínima exigida. O sensor do tipo IV é o menor que cobre pelo menos 70 m², pois os tipos I, II e III não atingem essa área, e o tipo V cobre mais, porém é desnecessariamente maior (e, portanto, mais caro).

Comentários por alternativa

  1. A I.
    A alternativa A está errada porque o sensor do tipo I cobre apenas \(A = \frac{15}{360} \times 3 \times 20^2 = \frac{1}{24} \times 3 \times 400 = \frac{1}{24} \times 1200 = 50\) m², que é menor que 70 m².
  2. B II.
    A alternativa B está errada pois o sensor do tipo II cobre \(A = \frac{30}{360} \times 3 \times 22^2 = \frac{1}{12} \times 3 \times 484 = \frac{1}{12} \times 1452 = 121\) m², que é maior que 70 m², mas o tipo IV cobre a área mínima com menor raio e ângulo, sendo mais econômico.
  3. C III.
    A alternativa C está errada porque o sensor do tipo III cobre \(A = \frac{40}{360} \times 3 \times 12^2 = \frac{1}{9} \times 3 \times 144 = \frac{1}{9} \times 432 = 48\) m², insuficiente para a exigência.
  4. D IV.
    A alternativa D está correta pois o sensor do tipo IV cobre \(A = \frac{60}{360} \times 3 \times 16^2 = \frac{1}{6} \times 3 \times 256 = \frac{1}{6} \times 768 = 128\) m², atendendo ao requisito de pelo menos 70 m² e sendo o sensor mais econômico dentre os que cumprem essa exigência.
  5. E V.
    A alternativa E está errada porque, embora o sensor do tipo V cubra \(A = \frac{90}{360} \times 3 \times 10^2 = \frac{1}{4} \times 3 \times 100 = 75\) m², que é suficiente, o tipo IV já cobre mais que o mínimo necessário com menor raio e ângulo, sendo mais barato.

Flashcards

Perguntas pontuais sobre o tema desta questão. Toque no card para virar e use as setas para navegar.

1 / 7
1. Como se calcula a área de um setor circular?
A área de um setor circular é dada por \(A = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi R^2\), onde \(\alpha\) é o ângulo central em graus e R é o raio.
2. Por que aumentar o ângulo \(\alpha\) ou o raio R aumenta a área do setor?
Porque a área é diretamente proporcional tanto ao ângulo \(\alpha\) quanto ao quadrado do raio R.
3. Qual a vantagem de escolher o menor sensor que atende à área mínima exigida?
O menor sensor que cobre a área mínima exigida geralmente é o mais econômico, pois sensores maiores tendem a ser mais caros.
4. Por que se usa \(\pi \approx 3\) em cálculos aproximados?
Usar \(\pi \approx 3\) simplifica os cálculos e é suficiente para estimativas rápidas em provas e situações práticas.
5. O que acontece se o sensor escolhido cobre área menor que a exigida?
O sensor não atenderá à necessidade de proteção, pois deixará regiões descobertas.
6. Se dois sensores cobrem áreas suficientes, qual critério usar para escolher entre eles?
Deve-se escolher o sensor que cobre a área mínima necessária, pois tende a ser mais barato e eficiente.
7. Como converter graus para fração de círculo em setores circulares?
Divide-se o ângulo em graus por 360 para obter a fração do círculo correspondente ao setor.

Treino guiado

Detonando o Tema

O DIMVS vai preparar 3 perguntas sobre o mesmo tema desta questão: uma fácil, uma média e uma difícil.

1. Comece pelo fácil 2. Suba para o médio 3. Feche no difícil

Ao responder, você vê a resolução, comentários das alternativas e flashcards. No fim, o resultado mostra seu domínio do tema.

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