O que é um triângulo equilátero?

É um triângulo com os três lados e os três ângulos internos iguais, cada ângulo medindo 60°.

O que é circuncentro de um triângulo?

É o ponto equidistante dos três vértices do triângulo, centro da circunferência circunscrita.

Qual a fórmula do raio da circunferência circunscrita de um triângulo equilátero de lado a?

O raio é dado por R = \frac{a}{\sqrt{3}}.

Como se calcula a distância do centro ao vértice em um triângulo equilátero?

Essa distância é igual ao raio da circunferência circunscrita, R = \frac{a}{\sqrt{3}}.

Por que o hospital deve estar no circuncentro do triângulo formado pelos postos?

Porque assim ele estará à mesma distância de todos os três postos, conforme exigido pelo problema.

Se o lado do triângulo fosse 12 km, qual seria o raio da circunferência circunscrita?

Seria R = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} \approx 6,93 km.

O que significa pontos coplanares?

Significa que todos os pontos estão no mesmo plano geométrico.

Ciências Humanas e suas Tecnologias

A distância, em quilômetro, entre o hospital e cada um dos postos de saúde, é um valor entre

ENEM 2024 Questão 164

A prefeitura de uma cidade planeja construir três postos de saúde. Esses postos devem ser construídos em locais equidistantes entre si e de forma que as distâncias desses três postos ao hospital dessa cidade sejam iguais. Foram conseguidos três locais para a construção dos postos de saúde que apresentam as características desejadas, e que distam $10\text{ km}$ entre si, conforme o esquema, no qual o ponto $H$ representa o local onde está construído o hospital; os pontos $P_1$, $P_2$ e $P_3$, os postos de saúde; e esses quatro pontos estão em um mesmo plano.

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Resolução

A questão trata de geometria plana, mais especificamente de triângulos equiláteros e circuncentro. Os três postos de saúde devem ser construídos em pontos equidistantes entre si, formando um triângulo equilátero de lado 10 km. O hospital deve estar posicionado de modo que sua distância a cada um dos três postos seja a mesma, ou seja, ele deve estar no circuncentro desse triângulo. O circuncentro de um triângulo equilátero coincide com seu centro, e a distância do centro a cada vértice é o raio da circunferência circunscrita. Para um triângulo equilátero de lado $a$, o raio $R$ da circunferência circunscrita é $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$. Substituindo $a = 10$, temos $R = \frac{10}{\sqrt{3}} \approx 5,77$ km. Portanto, a distância entre o hospital e cada posto de saúde está entre 5 e 6 km, o que corresponde à alternativa C.

Comentários por alternativa

A 2 e 3.

A alternativa A está errada porque o valor do raio da circunferência circunscrita de um triângulo equilátero de lado 10 km é bem maior que 3 km.
B 4 e 5.

A alternativa B está errada pois subestima o valor do raio, que é maior que 5 km.
C 5 e 6.

A alternativa C está correta porque o raio calculado (\frac{10}{\sqrt{3}} \approx 5,77) está entre 5 e 6 km.
D 7 e 8.

A alternativa D está errada porque o valor do raio não chega a 7 km; está abaixo desse valor.
E 8 e 9.

A alternativa E está errada porque o raio é menor que 8 km, então essa faixa não contempla a resposta correta.

Flashcards

Perguntas pontuais sobre o tema desta questão. Toque no card para virar e use as setas para navegar.

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1. O que é um triângulo equilátero?: É um triângulo com os três lados e os três ângulos internos iguais, cada ângulo medindo 60°.
2. O que é circuncentro de um triângulo?: É o ponto equidistante dos três vértices do triângulo, centro da circunferência circunscrita.
3. Qual a fórmula do raio da circunferência circunscrita de um triângulo equilátero de lado a?: O raio é dado por R = \frac{a}{\sqrt{3}}.
4. Como se calcula a distância do centro ao vértice em um triângulo equilátero?: Essa distância é igual ao raio da circunferência circunscrita, R = \frac{a}{\sqrt{3}}.
5. Por que o hospital deve estar no circuncentro do triângulo formado pelos postos?: Porque assim ele estará à mesma distância de todos os três postos, conforme exigido pelo problema.
6. Se o lado do triângulo fosse 12 km, qual seria o raio da circunferência circunscrita?: Seria R = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} \approx 6,93 km.
7. O que significa pontos coplanares?: Significa que todos os pontos estão no mesmo plano geométrico.