O que é o domínio de uma função logarítmica?

É o conjunto de valores para os quais o argumento do logaritmo é estritamente positivo.

Como se resolve uma inequação envolvendo logaritmo?

Isola-se o logaritmo, transforma-se em inequação exponencial e resolve-se para a variável de interesse.

Por que é importante analisar o valor máximo de uma função em um intervalo?

Para garantir que a variável dependente não ultrapasse limites impostos em todo o período de interesse.

Como se determina o maior valor possível de um parâmetro em uma restrição?

Impõe-se a condição limite, igualando a expressão ao valor máximo permitido e isolando o parâmetro.

O que significa o parâmetro K na expressão da pressão?

K é um parâmetro positivo que caracteriza o modelo da máquina e influencia diretamente o valor da pressão.

Qual a relação entre o tempo de uso e a pressão na função dada?

A pressão depende do produto (t+1)(t-19), variando conforme o tempo de uso t.

Por que se deve garantir que o argumento do logaritmo seja positivo?

Porque o logaritmo de número não positivo não está definido nos números reais.

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Questão 172 — Um empresário utiliza máquinas cuja pressão interna $P$, em atmosfera, depende do tempo contínuo de utilização $t$, em hora, e de um parâmetro positi…

ENEM 2025 Questão 172

Um empresário utiliza máquinas cuja pressão interna $P$, em atmosfera, depende do tempo contínuo de utilização $t$, em hora, e de um parâmetro positivo $K$, que define o modelo da máquina, segundo a expressão: $$P = 4 \cdot \log[-K \cdot (t + 1) \cdot (t - 19)]$$ O fabricante dessas máquinas recomenda ao usuário que a pressão interna desse tipo de máquina não ultrapasse 10 atmosferas durante seu funcionamento. O empresário pretende comprar novas máquinas desse tipo que deverão funcionar, diariamente, por um período contínuo de 10 horas. Para isso, precisa definir o modelo de máquina a ser adquirida escolhendo o maior valor possível do parâmetro $K$, atendendo à recomendação do fabricante.

O maior valor a ser escolhido para $K$ é

Resolução

Resposta correta: Letra C — $\frac{10^{2,5}}{84}$

A questão envolve a análise de uma função logarítmica que modela a pressão interna de uma máquina em função do tempo de uso e de um parâmetro K. O objetivo é determinar o maior valor possível de K para que, durante 10 horas de funcionamento contínuo, a pressão não ultrapasse 10 atmosferas, conforme recomendação do fabricante. O passo a passo envolve: (1) garantir que o argumento do logaritmo seja positivo (domínio da função), (2) encontrar o valor máximo da pressão no intervalo de uso (t de 0 a 10 horas), (3) impor a condição P \leq 10, (4) isolar K e encontrar seu maior valor possível. O domínio exige que -K \cdot (t+1) \cdot (t-19) > 0, o que, para K > 0, só ocorre para 0 < t < 19. O máximo de P ocorre em t = 10 (final do período de uso). Substituindo t = 10, impomos P \leq 10, resolvemos a inequação e encontramos K = \frac{10^{2,5}}{84}. Assim, a alternativa correta é a C.

Comentários por alternativa

A $10^{0,5}$

A alternativa A apresenta um valor muito pequeno para K, não aproveitando o limite máximo permitido pela condição de pressão. Não atende ao objetivo de maximizar K.
B $10^{8}$

A alternativa B apresenta um valor extremamente alto para K, que faria a pressão ultrapassar o limite de 10 atmosferas, violando a recomendação do fabricante.
C $\frac{10^{2,5}}{84}$

A alternativa C está correta porque, ao substituir t = 10 na expressão e impor P $\leq 10,$ obtemos K = $\frac${10^{2,5}}{84}, que é o maior valor possível de K para garantir a segurança durante as 10 horas de funcionamento.
D $\frac{10^{2,5}}{99}$

A alternativa D apresenta um denominador incorreto (99 em vez de 84), resultando em um valor de K menor do que o máximo possível, portanto não é a resposta correta.
E $25 \times 10^{-2}$

A alternativa E apresenta um valor muito pequeno para K, bem abaixo do valor máximo permitido, não aproveitando a faixa de segurança recomendada.

Flashcards

Perguntas pontuais sobre o tema desta questão. Toque no card para virar e use as setas para navegar.

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1. O que é o domínio de uma função logarítmica?: É o conjunto de valores para os quais o argumento do logaritmo é estritamente positivo.
2. Como se resolve uma inequação envolvendo logaritmo?: Isola-se o logaritmo, transforma-se em inequação exponencial e resolve-se para a variável de interesse.
3. Por que é importante analisar o valor máximo de uma função em um intervalo?: Para garantir que a variável dependente não ultrapasse limites impostos em todo o período de interesse.
4. Como se determina o maior valor possível de um parâmetro em uma restrição?: Impõe-se a condição limite, igualando a expressão ao valor máximo permitido e isolando o parâmetro.
5. O que significa o parâmetro K na expressão da pressão?: K é um parâmetro positivo que caracteriza o modelo da máquina e influencia diretamente o valor da pressão.
6. Qual a relação entre o tempo de uso e a pressão na função dada?: A pressão depende do produto (t+1)(t-19), variando conforme o tempo de uso t.
7. Por que se deve garantir que o argumento do logaritmo seja positivo?: Porque o logaritmo de número não positivo não está definido nos números reais.

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