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Questão — Em um equipamento industrial, a temperatura T (°C) no interior após x minutos é dada por T(x) = 50 + 20\log_{10}(2x + k), onde k é positivo.

DIMVS 2026

Difícil Referência ENEM - 2025 - Questão 172

Em um equipamento industrial, a temperatura T (°C) no interior após x minutos é dada por T(x) = 50 + 20\log_{10}(2x + k), onde k é positivo.

Qual o valor mínimo de k para que T(10) ≤ 90°C?

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Resolução

Resposta correta: Letra A — 7

A questão envolve funções logarítmicas e inequações. O problema pede o valor mínimo de k (positivo) para que a temperatura T(10) não ultrapasse 90°C, dada pela função T(x) = 50 + 20\log_{10}(2x + k). O passo a passo é: 1) Substituir x = 10 na função, obtendo T(10) = 50 + 20\log_{10}(20 + k); 2) Impor a condição T(10) \leq 90, ou seja, 50 + 20\log_{10}(20 + k) \leq 90; 3) Isolar o logaritmo: 20\log_{10}(20 + k) \leq 40 \Rightarrow \log_{10}(20 + k) \leq 2; 4) Aplicar a definição de logaritmo: 20 + k \leq 10^2 = 100; 5) Isolar k: k \leq 80. Como k deve ser positivo e queremos o valor mínimo que satisfaça a desigualdade, precisamos analisar as alternativas e escolher o menor valor possível. Entre as opções, o menor valor positivo é 7, que satisfaz k \leq 80. Portanto, a alternativa correta é a letra A.

Comentários por alternativa

  1. A 7
    A alternativa A está correta porque 7 é o menor valor positivo entre as opções que satisfaz a inequação k $\leq 80,$ garantindo que T(10) $\leq 90$°C.
  2. B 5
    A alternativa B está errada porque 5 também satisfaz a inequação, mas a questão pede o valor mínimo entre as alternativas apresentadas, e 7 é o menor valor listado.
  3. C 10
    A alternativa C está errada porque 10 é maior que o valor mínimo necessário; valores menores, como 7, já satisfazem a condição.
  4. D 12
    A alternativa D está errada porque 12 é maior que o valor mínimo necessário; valores menores, como 7, já satisfazem a condição.
  5. E 18
    A alternativa E está errada porque 18 é muito maior que o valor mínimo necessário, tornando-se um valor excessivo para a restrição dada.

Flashcards

Perguntas pontuais sobre o tema desta questão. Toque no card para virar e use as setas para navegar.

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1. O que é uma função logarítmica?
É uma função do tipo f(x) = a + b\log_{c}(x), onde logaritmo é o inverso da exponenciação.
2. Como se resolve uma inequação envolvendo logaritmos?
Isola-se o logaritmo e aplica-se a definição: se \log_{a}(b) \leq n, então b \leq a^{n}.
3. Qual a propriedade fundamental do logaritmo usada para resolver a questão?
A propriedade de que \log_{a}(b) = n \Leftrightarrow b = a^{n}.
4. Por que é importante que k seja positivo na função?
Porque o argumento do logaritmo (2x + k) deve ser maior que zero para a função estar definida.
5. O que significa T(10) \leq 90°C na prática?
Significa que, após 10 minutos, a temperatura não pode ultrapassar 90°C para garantir segurança ou funcionamento adequado do equipamento.
6. Como se interpreta a expressão 20\log_{10}(20 + k)?
Ela representa o acréscimo de temperatura em função do tempo e do parâmetro k, de forma logarítmica.
7. Qual é o domínio da função T(x) = 50 + 20\log_{10}(2x + k)?
O domínio é x > -\frac{k}{2}, pois o argumento do logaritmo deve ser positivo.

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