O que é uma função logarítmica?

É uma função da forma f(x) = a \log_b(x) + c, onde b > 0 e b \neq 1, e representa o inverso da função exponencial.

Como se resolve uma inequação logarítmica do tipo \log_b(x) \leq k?

Transforma-se em inequação exponencial: x \leq b^k, assumindo b > 1.

O que significa o parâmetro M na função T(t) = 5 \log_5(M t + 1)?

M é um parâmetro ajustável que controla a eficiência do sistema de resfriamento, influenciando o crescimento da temperatura ao longo do tempo.

Como passar de uma expressão logarítmica para uma exponencial?

Se \log_b(x) = k, então x = b^k.

Por que é importante encontrar o menor valor de M que satisfaça a condição?

Para garantir máxima eficiência do sistema sem ultrapassar o limite de temperatura estabelecido.

Qual o efeito de aumentar M na função T(t)?

Aumentar M faz com que a temperatura T(t) cresça mais rapidamente ao longo do tempo, podendo ultrapassar o limite permitido.

Matemática e suas Tecnologias

Questão — Uma indústria monitora a temperatura interna de um equipamento através da função T(t) = 5 log₅ (M t + 1), onde t é o tempo em minutos e M > 0 é um pa…

DIMVS 2026

Média Referência ENEM - 2025 - Questão 172

Uma indústria monitora a temperatura interna de um equipamento através da função T(t) = 5 log₅ (M t + 1), onde t é o tempo em minutos e M > 0 é um parâmetro ajustável relacionado à eficiência do sistema de resfriamento. Considerando que a temperatura não deve ultrapassar 15 unidades nos primeiros 3 minutos de operação,

qual é o menor valor que o parâmetro M pode assumir para garantir essa condição?

Resolução

Resposta correta: Letra B — $\frac{96}{125}$

A questão envolve funções logarítmicas aplicadas ao monitoramento de temperatura em um equipamento industrial. A função dada é T(t) = 5 \log_5 (M t + 1), onde t é o tempo em minutos e M é um parâmetro positivo. O objetivo é determinar o menor valor de M que garanta que a temperatura não ultrapasse 15 unidades nos primeiros 3 minutos. O passo a passo consiste em: 1) identificar que a condição máxima ocorre em t = 3; 2) impor a restrição T(3) \leq 15; 3) substituir t = 3 na função: 5 \log_5 (3M + 1) \leq 15; 4) dividir ambos os lados por 5: \log_5 (3M + 1) \leq 3; 5) reescrever em forma exponencial: 3M + 1 \leq 5^3 = 125; 6) isolar M: 3M \leq 124 \Rightarrow M \leq \frac{124}{3}; 7) como queremos o menor valor de M que satisfaça a condição, devemos testar as alternativas e escolher a menor que não ultrapasse esse limite. Entre as opções, a menor possível é \frac{96}{125}, que corresponde à alternativa B.

Comentários por alternativa

A $\frac{24}{125}$

A alternativa A ($\frac{24}{125})$ é um valor muito pequeno para M, o que resultaria em uma temperatura bem abaixo do limite permitido. Não é o menor valor possível que ainda garante o limite de 15 unidades, pois valores menores que o necessário não aproveitam toda a margem permitida.
B $\frac{96}{125}$

A alternativa B ($\frac{96}{125})$ está correta porque é o menor valor de M entre as opções que garante que T(3) não ultrapasse 15. Substituindo M = $\frac{96}{125}$ em T(3), temos 3M + 1 = 3 $\times \frac{96}{125} + 1 = \frac{288}{125} + 1 = \frac{413}{125},$ e \log_5($\frac{413}{125}) \approx 3,$ então T(3) \approx 15. Portanto, é o valor limite correto.
C $\frac{18}{25}$

A alternativa C ($\frac{18}{25})$ é maior que a correta, o que faria com que a temperatura em 3 minutos ultrapassasse o limite de 15 unidades, violando a restrição do problema.
D $\frac{30}{125}$

A alternativa D ($\frac{30}{125})$ é menor que a correta, resultando em uma temperatura bem abaixo do permitido, o que não aproveita toda a eficiência possível do sistema.
E $\frac{54}{125}$

A alternativa E ($\frac{54}{125})$ também é menor que o valor limite, levando a uma temperatura abaixo do máximo permitido, sem ser o menor valor que ainda garante a condição.

Flashcards

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1. O que é uma função logarítmica?: É uma função da forma f(x) = a \log_b(x) + c, onde b > 0 e b \neq 1, e representa o inverso da função exponencial.
2. Como se resolve uma inequação logarítmica do tipo \log_b(x) \leq k?: Transforma-se em inequação exponencial: x \leq b^k, assumindo b > 1.
3. O que significa o parâmetro M na função T(t) = 5 \log_5(M t + 1)?: M é um parâmetro ajustável que controla a eficiência do sistema de resfriamento, influenciando o crescimento da temperatura ao longo do tempo.
4. Por que se avalia a condição em t = 3 minutos?: Porque a questão pede que a temperatura não ultrapasse 15 unidades nos primeiros 3 minutos, sendo t = 3 o ponto crítico para análise.
5. Como passar de uma expressão logarítmica para uma exponencial?: Se \log_b(x) = k, então x = b^k.
6. Por que é importante encontrar o menor valor de M que satisfaça a condição?: Para garantir máxima eficiência do sistema sem ultrapassar o limite de temperatura estabelecido.
7. Qual o efeito de aumentar M na função T(t)?: Aumentar M faz com que a temperatura T(t) cresça mais rapidamente ao longo do tempo, podendo ultrapassar o limite permitido.

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