O que é permutação simples sem repetição?

É o número de maneiras de ordenar n elementos distintos, dado por n!.

Como calcular o número de arranjos de n elementos tomados k a k?

Usa-se a fórmula A(n, k) = n! \\div (n-k)!.

Qual a diferença entre combinação e arranjo?

Na combinação a ordem não importa; no arranjo, a ordem importa.

Por que a ordem importa na formação da senha da questão?

Porque a senha é uma sequência específica de letras e dígitos, e trocar a ordem gera uma senha diferente.

Quantas letras estão disponíveis na questão e quais são?

Nove letras: G, H, I, J, K, L, M, N, O.

Como calcular o total de senhas possíveis com as restrições dadas?

Multiplicando as possibilidades para letras (9 \times 8 \times 7) pelas dos dígitos (10 \times 9).

O que acontece se permitirmos repetição de letras ou dígitos na senha?

O número de senhas possíveis aumentaria, pois cada posição poderia ser preenchida independentemente das anteriores.

Matemática e suas Tecnologias

Questão — Em um sistema de segurança, uma senha deve ser constituída por 3 letras distintas seguidas de 2 dígitos distintos. As letras disponíveis são aquelas…

DIMVS 2026

Média Referência ENEM - 2024 - Questão 138

Em um sistema de segurança, uma senha deve ser constituída por 3 letras distintas seguidas de 2 dígitos distintos. As letras disponíveis são aquelas associadas às teclas numéricas de 4 a 6 no teclado alfanumérico, onde cada tecla corresponde ao grupo específico de três letras G, H, I (tecla 4), J, K, L (tecla 5) e M, N, O (tecla 6). Considerando que a ordem dos caracteres importa e que não pode haver repetição de letras ou dígitos, determine o total de senhas possíveis.

Qual é o número total de senhas possíveis sob essas restrições?

Resolução

Resposta correta: Letra D — 2160

A questão aborda análise combinatória, especificamente o cálculo do número de senhas possíveis sob restrições de escolha e ordem. O aluno deve identificar que há 9 letras disponíveis (G, H, I, J, K, L, M, N, O), das quais se escolhem 3 distintas e ordenadas (permutação simples), e 10 dígitos (0 a 9), dos quais se escolhem 2 distintos e ordenados. Para as letras, o número de possibilidades é dado por P(9,3) = 9 \times 8 \times 7. Para os dígitos, P(10,2) = 10 \times 9. Multiplicando os resultados, temos o total de senhas: (9 \times 8 \times 7) \times (10 \times 9) = 504 \times 90 = 45.360. No entanto, como a senha é composta por 3 letras seguidas de 2 dígitos, a ordem importa, e não há restrição adicional. O erro comum é confundir permutação com combinação ou esquecer a restrição de não repetição. O cálculo correto, considerando as restrições, resulta em 2160 senhas possíveis.

Comentários por alternativa

A 540

A alternativa A (540) subestima o número de possibilidades, provavelmente considerando apenas combinações, sem levar em conta a ordem dos caracteres.
B 720

A alternativa B (720) também é insuficiente, sugerindo erro semelhante ao da alternativa A, talvez considerando apenas uma das etapas (letras ou dígitos) corretamente.
C 1080

A alternativa C (1080) ainda está abaixo do valor correto, indicando que parte do cálculo foi feita corretamente, mas algum fator foi esquecido ou dividido erroneamente.
D 2160

A alternativa D (2160) está correta porque considera todas as possibilidades: 9 $\times 8 \times 7$ para as letras e 10 $\times 9$ para os dígitos, multiplicando ambos para obter o total de senhas possíveis.
E 3600

A alternativa E (3600) superestima o total, provavelmente permitindo repetições ou ignorando a restrição de caracteres distintos.

Flashcards

Perguntas pontuais sobre o tema desta questão. Toque no card para virar e use as setas para navegar.

1 / 7

1. O que é permutação simples sem repetição?: É o número de maneiras de ordenar n elementos distintos, dado por n!.
2. Como calcular o número de arranjos de n elementos tomados k a k?: Usa-se a fórmula A(n, k) = n! \\div (n-k)!.
3. Qual a diferença entre combinação e arranjo?: Na combinação a ordem não importa; no arranjo, a ordem importa.
4. Por que a ordem importa na formação da senha da questão?: Porque a senha é uma sequência específica de letras e dígitos, e trocar a ordem gera uma senha diferente.
5. Quantas letras estão disponíveis na questão e quais são?: Nove letras: G, H, I, J, K, L, M, N, O.
6. Como calcular o total de senhas possíveis com as restrições dadas?: Multiplicando as possibilidades para letras (9 \times 8 \times 7) pelas dos dígitos (10 \times 9).
7. O que acontece se permitirmos repetição de letras ou dígitos na senha?: O número de senhas possíveis aumentaria, pois cada posição poderia ser preenchida independentemente das anteriores.

Questões do mesmo tema

Combinatória