O que é análise combinatória?

Análise combinatória é o ramo da matemática que estuda as possibilidades de agrupamento, ordenação e seleção de elementos de um conjunto.

Como calcular o número de maneiras de escolher 1 representante de cada dupla em várias duplas?

Para cada dupla, há 2 opções de representante, então para n duplas, são $2^n$ maneiras.

Qual a diferença entre permutação e combinação?

Permutação considera a ordem dos elementos, enquanto combinação não considera a ordem.

Como aplicar restrições em problemas de contagem?

Restrições são aplicadas excluindo opções já usadas ou proibidas a cada etapa da escolha, ajustando o número de possibilidades.

Por que em problemas com duplas não se pode escolher dois da mesma dupla?

Porque a restrição do problema impede que dois representantes sejam da mesma dupla, garantindo diversidade de grupos.

Como transformar a escolha de representantes em uma expressão de multiplicação?

Multiplicando o número de opções disponíveis em cada etapa, levando em conta as restrições impostas pelo problema.

Por que a expressão correta é 24 × 22 × 20 × 18 neste caso?

Porque a cada novo representante escolhido, duas pessoas (uma dupla) são excluídas das opções, reduzindo o total em 2 a cada passo.

Matemática e suas Tecnologias

Questão — Quantos representantes podem ser escolhidos de 12 duplas, se não podem ser selecionados dois integrantes da mesma dupla?

DIMVS 2026

Fácil Referência ENEM - 2025 - Questão 155

Quantos representantes podem ser escolhidos de 12 duplas, se não podem ser selecionados dois integrantes da mesma dupla?

Qual é a expressão correta para o número total de formas de escolher 4 representantes nessas condições?

Resolução

Resposta correta: Letra A — 24 × 22 × 20 × 18

A questão trata de análise combinatória, mais especificamente de contagem de maneiras de escolher representantes de um grupo, respeitando restrições. Temos 12 duplas (ou seja, 24 pessoas) e queremos escolher 4 representantes, mas nunca dois da mesma dupla. O raciocínio correto é: primeiro, escolher 4 duplas distintas entre as 12 disponíveis (pois não pode haver dois da mesma dupla). Para cada dupla escolhida, há 2 possibilidades de representante (um ou outro integrante). Portanto, o número total de maneiras é: escolher 4 duplas (ordem importa, pois as alternativas mostram produtos, não combinações), e para cada uma, escolher 1 dos 2 integrantes. Assim, a escolha é sequencial: para o primeiro representante, 24 opções; para o segundo, 22 (não pode ser da mesma dupla do primeiro); para o terceiro, 20; para o quarto, 18. Logo, a expressão correta é 24 × 22 × 20 × 18.

Comentários por alternativa

A 24 × 22 × 20 × 18

Alternativa A está correta, pois representa a escolha sequencial de 4 pessoas, cada uma de uma dupla diferente: 24 opções para o primeiro, 22 para o segundo (excluindo a dupla do primeiro), 20 para o terceiro (excluindo as duplas dos dois anteriores), 18 para o quarto (excluindo as duplas dos três anteriores).
B 24 × 23 × 22 × 21

Alternativa B está errada porque não exclui corretamente as duplas já escolhidas; ela apenas subtrai 1 a cada passo, como se fosse uma simples permutação de 4 entre 24 pessoas, sem considerar a restrição das duplas.
C 12 × 11 × 10 × 9

Alternativa C está errada porque considera apenas a escolha das duplas (12 × 11 × 10 × 9), mas não leva em conta que para cada dupla há 2 opções de representante.
D 24 × 22 × 21 × 20

Alternativa D está errada porque, embora comece correto (24 × 22), depois não subtrai corretamente os múltiplos de 2, errando nas opções restantes após cada escolha.
E 24 × 21 × 18 × 15

Alternativa E está errada porque os fatores não seguem a lógica de exclusão das duplas já escolhidas; os números não correspondem ao processo correto de restrição.

Flashcards

Perguntas pontuais sobre o tema desta questão. Toque no card para virar e use as setas para navegar.

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1. O que é análise combinatória?: Análise combinatória é o ramo da matemática que estuda as possibilidades de agrupamento, ordenação e seleção de elementos de um conjunto.
2. Como calcular o número de maneiras de escolher 1 representante de cada dupla em várias duplas?: Para cada dupla, há 2 opções de representante, então para n duplas, são $2^n$ maneiras.
3. Qual a diferença entre permutação e combinação?: Permutação considera a ordem dos elementos, enquanto combinação não considera a ordem.
4. Como aplicar restrições em problemas de contagem?: Restrições são aplicadas excluindo opções já usadas ou proibidas a cada etapa da escolha, ajustando o número de possibilidades.
5. Por que em problemas com duplas não se pode escolher dois da mesma dupla?: Porque a restrição do problema impede que dois representantes sejam da mesma dupla, garantindo diversidade de grupos.
6. Como transformar a escolha de representantes em uma expressão de multiplicação?: Multiplicando o número de opções disponíveis em cada etapa, levando em conta as restrições impostas pelo problema.
7. Por que a expressão correta é 24 × 22 × 20 × 18 neste caso?: Porque a cada novo representante escolhido, duas pessoas (uma dupla) são excluídas das opções, reduzindo o total em 2 a cada passo.

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