O que é uma combinação simples?

É uma seleção de elementos de um conjunto, onde a ordem não importa, dada por C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}.

Como se calcula o número de maneiras de escolher uma pessoa de cada casal em um grupo de casais?

Escolhe-se o casal e, para cada casal escolhido, há 2 opções (um dos dois integrantes), multiplicando as possibilidades.

O que muda no cálculo se a ordem dos cargos for relevante?

Se a ordem importar, multiplica-se o resultado por 3! (fatorial de 3), pois cada grupo pode ser distribuído nos cargos de diferentes formas.

Qual a diferença entre combinação e arranjo?

Na combinação a ordem não importa; no arranjo, a ordem dos elementos escolhidos é relevante.

Como aplicar restrições em problemas de contagem?

Deve-se separar as etapas: primeiro garantir que a restrição seja atendida (como não repetir casal), depois contar as opções restantes.

Por que não se pode escolher dois integrantes do mesmo casal neste problema?

Porque a restrição do enunciado limita a escolha a no máximo um integrante de cada casal para a diretoria.

O que representa o fator 2^3 na solução desta questão?

Representa as escolhas possíveis de um dos dois integrantes em cada um dos três casais selecionados para os cargos.

Matemática e suas Tecnologias

Questão — Um grupo de 10 casais formou-se para constituir uma diretoria com três cargos distintos: presidente, secretário e tesoureiro. A regra imposta foi que…

DIMVS 2026

Difícil Referência ENEM - 2025 - Questão 155

Um grupo de 10 casais formou-se para constituir uma diretoria com três cargos distintos: presidente, secretário e tesoureiro. A regra imposta foi que no máximo um integrante de cada casal poderá ocupar um cargo nessa diretoria.

Quantas combinações distintas de pessoas podem ser escolhidas para formar essa diretoria, desconsiderando a ordem dos cargos e respeitando a restrição dada?

Resolução

Resposta correta: Letra A — C(10, 3) × 2^3

A questão trata de análise combinatória com restrição: selecionar 3 pessoas para cargos distintos (presidente, secretário e tesoureiro) a partir de 10 casais, com a condição de que no máximo um integrante de cada casal pode ser escolhido. O conceito central é o de combinação com restrição. O raciocínio é: primeiro, escolher 3 casais distintos dentre os 10 (pois não pode haver dois do mesmo casal), o que pode ser feito de C(10, 3) formas. Depois, para cada casal escolhido, há 2 opções de pessoa (marido ou esposa), totalizando 2^3 possibilidades. Como a ordem dos cargos não importa (apenas quem são os 3 escolhidos), não multiplicamos por 3!. Portanto, a resposta correta é C(10, 3) × 2^3.

Comentários por alternativa

A C(10, 3) × 2^3

Alternativa A está correta: primeiro escolhem-se 3 casais dentre 10 (C(10, 3)), depois, para cada casal, escolhe-se 1 dos 2 integrantes (2^3), totalizando C(10, 3) × 2^3 combinações.
B 3! × C(10, 3) × 2^3

Alternativa B está errada porque multiplica por 3!, o que consideraria a ordem dos cargos, mas o enunciado pede para desconsiderar a ordem dos cargos.
C C(20, 3) - C(10, 3)

Alternativa C está errada porque subtrai C(10, 3) de C(20, 3), o que não corresponde ao método correto de aplicar a restrição dos casais.
D C(10, 3) × 3!

Alternativa D está errada porque multiplica por 3!, novamente considerando a ordem dos cargos, o que não é pedido na questão.
E C(20, 3)

Alternativa E está errada porque C(20, 3) desconsidera completamente a restrição dos casais, permitindo que ambos integrantes de um mesmo casal sejam escolhidos.

Flashcards

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1. O que é uma combinação simples?: É uma seleção de elementos de um conjunto, onde a ordem não importa, dada por C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}.
2. Como se calcula o número de maneiras de escolher uma pessoa de cada casal em um grupo de casais?: Escolhe-se o casal e, para cada casal escolhido, há 2 opções (um dos dois integrantes), multiplicando as possibilidades.
3. O que muda no cálculo se a ordem dos cargos for relevante?: Se a ordem importar, multiplica-se o resultado por 3! (fatorial de 3), pois cada grupo pode ser distribuído nos cargos de diferentes formas.
4. Qual a diferença entre combinação e arranjo?: Na combinação a ordem não importa; no arranjo, a ordem dos elementos escolhidos é relevante.
5. Como aplicar restrições em problemas de contagem?: Deve-se separar as etapas: primeiro garantir que a restrição seja atendida (como não repetir casal), depois contar as opções restantes.
6. Por que não se pode escolher dois integrantes do mesmo casal neste problema?: Porque a restrição do enunciado limita a escolha a no máximo um integrante de cada casal para a diretoria.
7. O que representa o fator 2^3 na solução desta questão?: Representa as escolhas possíveis de um dos dois integrantes em cada um dos três casais selecionados para os cargos.

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