Questão — Uma praça circular tem raio de 500 m e será iluminada por postes, cada um iluminando até 100 m do seu local.

A questão trata de geometria plana, mais especificamente da cobertura de uma circunferência por regiões circulares menores. O objetivo é determinar o número mínimo de postes, cada um iluminando até 100 m ao redor, necessários para iluminar toda a borda de uma praça circular de raio 500 m. O conceito central é o de arco de circunferência: cada poste cobre um arco de 200 m (pois o alcance é de 100 m para cada lado ao longo da borda). O comprimento total da borda é dado por $C = 2\pi r = 2\pi \times 500 = 1000\pi$ metros. Dividindo o comprimento total pelo comprimento iluminado por cada poste, temos $n = \frac{1000\pi}{200} = 5\pi \approx 15,7$. No entanto, como os postes são posicionados na própria borda, cada um cobre um arco de 100 m para cada lado, formando setores circulares. Para cobrir toda a circunferência sem deixar falhas, é necessário que o ângulo central correspondente ao arco iluminado por cada poste seja $\theta = \frac{2\pi}{n}$, e o comprimento do arco iluminado por cada poste seja $2R\sin\left(\frac{\pi}{n}\right) \leq 200$. Ao resolver essa desigualdade, encontramos que $n=10$ é o menor número inteiro que garante cobertura total, pois para $n=10$, $2\times500\sin\left(\frac{\pi}{10}\right) \approx 293,9 > 200$, ou seja, cada poste cobre mais do que o necessário, mas com $n=9$ não seria suficiente.