Questão — Um prisma pentagonal regular reto é unido a um tronco de pirâmide pentagonal, ambos com a mesma base e altura, formando um sólido simétrico em relaçã…
Um prisma pentagonal regular reto é unido a um tronco de pirâmide pentagonal, ambos com a mesma base e altura, formando um sólido simétrico em relação a um eixo que passa pelo centro. Considerando essa simetria axial, explore como essa propriedade influencia a quantidade mínima de cores necessárias para pintar todas as faces do sólido, de modo que faces simétricas tenham a mesma cor, e faces não simétricas cores diferentes.
Com base na simetria axial descrita, qual é o número mínimo de cores necessárias para pintar o sólido, respeitando as regras da simetria e diferenciação de cores?
Resolução
Resposta correta: Letra C — 5
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A questão trata de simetria axial em sólidos geométricos compostos: um prisma pentagonal regular reto unido a um tronco de pirâmide pentagonal, ambos com a mesma base e altura. O eixo de simetria passa pelo centro das bases, tornando o sólido simétrico em relação a esse eixo. O objetivo é determinar o número mínimo de cores necessárias para pintar todas as faces, de modo que faces simétricas (em relação ao eixo) tenham a mesma cor e faces não simétricas tenham cores diferentes. Para resolver, é preciso identificar os pares de faces simétricas e as faces únicas (como as bases), agrupando-as conforme a simetria. No prisma e no tronco de pirâmide, as faces laterais são agrupadas em pares simétricos, e as bases (superior e inferior) também são simétricas entre si. Como a base comum fica no plano de simetria, ela é única. Assim, temos 5 pares de faces laterais (um de cada lado do sólido) e 1 base central. Portanto, são necessárias 5 cores para os pares de faces laterais e 1 para a base central, mas como a base central não tem par simétrico, ela pode repetir uma das cores já usadas, mantendo o mínimo de 5 cores. Logo, a alternativa correta é a letra C.
Flashcards
Perguntas pontuais sobre o tema desta questão. Toque no card para virar e use as setas para navegar.
- 1. O que é simetria axial em sólidos geométricos?
- Simetria axial ocorre quando um sólido pode ser dividido por um eixo, de modo que cada parte é o espelho da outra em relação a esse eixo.
- 2. Como identificar pares de faces simétricas em um prisma regular?
- Em um prisma regular, pares de faces laterais opostas em relação ao eixo de simetria são consideradas simétricas.
- 3. O que é um tronco de pirâmide pentagonal?
- É um sólido obtido ao se cortar uma pirâmide pentagonal por um plano paralelo à base, removendo o topo e deixando duas bases pentagonais paralelas.
- 4. Por que a base comum do prisma e do tronco de pirâmide pode compartilhar cor com outras faces?
- Porque ela está no plano de simetria e não possui par simétrico distinto, podendo repetir uma das cores já utilizadas.
- 5. Qual é a importância da regularidade do prisma e do tronco na contagem de cores?
- A regularidade garante que todas as faces laterais são congruentes e simetricamente distribuídas, facilitando o agrupamento em pares simétricos.
- 6. Como a simetria influencia a coloração mínima das faces de um sólido?
- A simetria reduz o número de cores necessárias, pois faces simétricas podem ter a mesma cor, minimizando a quantidade total.
- 7. O que acontece se duas faces não simétricas receberem a mesma cor?
- Isso viola a condição do problema, pois apenas faces simétricas podem compartilhar cor; faces não simétricas devem ter cores diferentes.
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