O que é uma progressão geométrica (PG)?

É uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando o anterior por uma constante chamada razão.

Como calcular o n-ésimo termo de uma PG?

O n-ésimo termo é dado por $a_n = a_1 \times r^{n-1}$, onde $a_1$ é o termo inicial e $r$ é a razão.

O que significa duplicar uma quantidade em cada etapa?

Significa multiplicar a quantidade anterior por 2, caracterizando uma progressão geométrica de razão 2.

Se uma sequência começa com 3 figuras e dobra a cada etapa, quantas figuras há após 4 etapas?

Após 4 etapas, haverá $3 \times 2^4 = 48$ figuras.

Qual a diferença entre progressão aritmética e geométrica?

Na aritmética, soma-se uma constante; na geométrica, multiplica-se por uma constante.

Como identificar o padrão de crescimento em uma sequência de duplicação?

Observando que cada termo é o dobro do anterior, indicando razão 2 na progressão geométrica.

Por que o expoente na fórmula $3 \times 2^{n}$ corresponde ao número de etapas?

Porque cada etapa representa uma multiplicação por 2, então após n etapas, o fator de multiplicação é $2^{n}$.

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Qual foi o total de figuras contidas na mensagem enviada?

ENEM 2024 Questão 142

Uma criança, utilizando um aplicativo, escreveu uma mensagem para enviar a um amigo. Essa mensagem foi escrita seguindo estas etapas:

Carregando imagem...

A criança seguiu copiando e colando, em cada etapa, o que tinha no visor na etapa imediatamente anterior, até concluir a $20^{\underline{a}}$ etapa. Em seguida, enviou a mensagem.

Qual foi o total de figuras contidas na mensagem enviada?

Resolução

Esta questão aborda uma sequência de duplicação: a cada etapa, o conteúdo do visor é copiado e colado, ou seja, duplicado. O problema pede o total de figuras após 20 etapas desse processo. O conceito central é o de progressão geométrica (PG), pois a quantidade de figuras dobra a cada etapa. Supondo que inicialmente havia 3 figuras, após cada etapa o número de figuras é multiplicado por 2. Assim, após n etapas, o total é dado por: $3 \times 2^{n}$. Para a 20ª etapa, temos $3 \times 2^{20}$ figuras. Portanto, a alternativa correta é a B.

Comentários por alternativa

A $3 \times 2^{19}$

A alternativa A erra ao usar $2^{19}$ em vez de $2^{20}$, pois após 20 duplicações, o expoente deve ser 20, não 19.
B $3 \times 2^{20}$

A alternativa B está correta porque, partindo de 3 figuras e duplicando 20 vezes, o total é $3 \times 2^{20}$, conforme a fórmula da progressão geométrica.
C $3 \times 2^{21}$

A alternativa C erra ao usar $2^{21}$, superestimando o número de duplicações. O correto é $2^{20}$, pois são 20 etapas de duplicação.
D $3 \times 2^{20} - 1$

A alternativa D erra ao subtrair 1 do resultado correto, o que não faz sentido no contexto da duplicação; não há razão para retirar uma figura.
E $3 \times 2^{20} - 3$

A alternativa E erra ao subtrair 3 do resultado correto, o que não corresponde a nenhuma etapa lógica do processo descrito.

Flashcards

Perguntas pontuais sobre o tema desta questão. Toque no card para virar e use as setas para navegar.

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1. O que é uma progressão geométrica (PG)?: É uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando o anterior por uma constante chamada razão.
2. Como calcular o n-ésimo termo de uma PG?: O n-ésimo termo é dado por $a_n = a_1 \times r^{n-1}$, onde $a_1$ é o termo inicial e $r$ é a razão.
3. O que significa duplicar uma quantidade em cada etapa?: Significa multiplicar a quantidade anterior por 2, caracterizando uma progressão geométrica de razão 2.
4. Se uma sequência começa com 3 figuras e dobra a cada etapa, quantas figuras há após 4 etapas?: Após 4 etapas, haverá $3 \times 2^4 = 48$ figuras.
5. Qual a diferença entre progressão aritmética e geométrica?: Na aritmética, soma-se uma constante; na geométrica, multiplica-se por uma constante.
6. Como identificar o padrão de crescimento em uma sequência de duplicação?: Observando que cada termo é o dobro do anterior, indicando razão 2 na progressão geométrica.
7. Por que o expoente na fórmula $3 \times 2^{n}$ corresponde ao número de etapas?: Porque cada etapa representa uma multiplicação por 2, então após n etapas, o fator de multiplicação é $2^{n}$.