O que caracteriza uma progressão geométrica (PG)?

Uma PG é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão.

Como calcular o n-ésimo termo de uma PG?

O n-ésimo termo de uma PG é dado por $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$, onde $a_1$ é o primeiro termo e $r$ é a razão.

Qual é a fórmula da soma dos termos de uma PG finita?

A soma dos n primeiros termos de uma PG é $S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}$, para $r \neq 1$.

Por que adiar o benefício de uma parcela gratuita em uma PG reduz o valor total pago?

Porque as parcelas aumentam exponencialmente, então quanto mais tarde a parcela gratuita for concedida, maior será seu valor e maior será a economia para o comprador.

O que significa um acréscimo percentual fixo em uma sequência de pagamentos?

Significa que cada novo pagamento é obtido multiplicando o anterior por $(1 + \frac{p}{100})$, onde $p$ é o percentual de acréscimo.

Como identificar o melhor mês para iniciar um financiamento com benefício anual?

Deve-se escolher o mês que faz com que o benefício (parcela gratuita) ocorra o mais tarde possível, quando as parcelas já aumentaram bastante.

Qual é o impacto de uma parcela gratuita em uma PG de pagamentos?

O impacto é maior quanto mais avançada for a parcela gratuita, pois ela representa um valor maior dentro da progressão geométrica.

Ciências Humanas e suas Tecnologias

Qual é o mês que esse cliente deverá escolher para realizar a compra do apartamento?

ENEM 2024 Questão 162

Uma imobiliária iniciou uma campanha de divulgação para promover a venda de apartamentos que podem ser pagos em 100 parcelas mensais. O valor da primeira delas é fixado no momento da compra, com o pagamento dessa primeira parcela. A partir da segunda parcela, o valor é determinado pela aplicação de um acréscimo percentual fixo ao valor da parcela anterior. Como atrativo, a imobiliária fará o pagamento de todas as parcelas correspondentes ao mês de aniversário do comprador. Um cliente, que faz aniversário no mês de maio, decidiu comprar um desses apartamentos por meio do financiamento oferecido pela imobiliária, e pretende escolher o mês mais adequado para realizar essa compra, de modo que o valor total dos pagamentos seja o menor possível.

Resolução

A questão trata de uma situação envolvendo uma progressão geométrica (PG), pois as parcelas do financiamento aumentam por um acréscimo percentual fixo a cada mês. O diferencial é que, a cada ano, no mês de aniversário do comprador, a imobiliária paga a parcela correspondente, ou seja, o cliente não paga essa parcela. O objetivo é escolher o melhor mês para iniciar o pagamento, de modo que o valor total desembolsado seja o menor possível. Para isso, é necessário perceber que, quanto mais tarde no ano for o início, mais cedo cairá o mês de aniversário e, consequentemente, a primeira parcela 'gratuita' será de valor menor. Como as parcelas crescem, o ideal é adiar ao máximo o recebimento do benefício, ou seja, fazer com que a primeira parcela gratuita seja a de maior valor possível. Assim, se o cliente faz aniversário em maio, ele deve começar a pagar em junho, pois assim a primeira parcela gratuita será a de maio do ano seguinte, que terá valor maior do que se o benefício fosse concedido logo nos primeiros meses. Portanto, a resposta correta é junho.

Comentários por alternativa

A Fevereiro.

Fevereiro não é a melhor escolha, pois ao iniciar em fevereiro, o mês de aniversário (maio) ocorre logo no início do financiamento, fazendo com que as parcelas 'gratuitas' sejam de valores baixos, já que o acréscimo percentual ainda não teve tempo de aumentar significativamente as parcelas.
B Abril.

Abril também não é vantajoso, pois o mês de aniversário ocorre apenas dois meses após o início, resultando em uma parcela gratuita ainda pouco valorizada pelo acréscimo percentual.
C Maio.

Maio é tentador, pois coincide com o mês de aniversário, mas isso faz com que a primeira parcela gratuita seja a própria primeira, que é a de menor valor de todo o financiamento.
D Junho.

Junho é a alternativa correta porque, ao começar a pagar em junho, o mês de aniversário (maio) só será alcançado após quase um ano de acréscimos percentuais, fazendo com que a primeira parcela gratuita seja de valor muito mais alto, reduzindo o valor total pago pelo cliente.
E Agosto.

Agosto não é a melhor escolha, pois quanto mais tarde no ano o financiamento começar, mais tempo levará para o benefício do mês de aniversário ser aplicado, mas o ideal é que ele seja aplicado quando as parcelas já estejam bem valorizadas, o que ocorre em junho.

Flashcards

Perguntas pontuais sobre o tema desta questão. Toque no card para virar e use as setas para navegar.

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1. O que caracteriza uma progressão geométrica (PG)?: Uma PG é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão.
2. Como calcular o n-ésimo termo de uma PG?: O n-ésimo termo de uma PG é dado por $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$, onde $a_1$ é o primeiro termo e $r$ é a razão.
3. Qual é a fórmula da soma dos termos de uma PG finita?: A soma dos n primeiros termos de uma PG é $S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}$, para $r \neq 1$.
4. Por que adiar o benefício de uma parcela gratuita em uma PG reduz o valor total pago?: Porque as parcelas aumentam exponencialmente, então quanto mais tarde a parcela gratuita for concedida, maior será seu valor e maior será a economia para o comprador.
5. O que significa um acréscimo percentual fixo em uma sequência de pagamentos?: Significa que cada novo pagamento é obtido multiplicando o anterior por $(1 + \frac{p}{100})$, onde $p$ é o percentual de acréscimo.
6. Como identificar o melhor mês para iniciar um financiamento com benefício anual?: Deve-se escolher o mês que faz com que o benefício (parcela gratuita) ocorra o mais tarde possível, quando as parcelas já aumentaram bastante.
7. Qual é o impacto de uma parcela gratuita em uma PG de pagamentos?: O impacto é maior quanto mais avançada for a parcela gratuita, pois ela representa um valor maior dentro da progressão geométrica.