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Questão — Em um aplicativo de mensagens, uma criança copia e cola figuras em etapas consecutivas, começando com 3 figuras na primeira etapa. A cada nova etapa,…

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Difícil Referência ENEM - 2024 - Questão 142

Em um aplicativo de mensagens, uma criança copia e cola figuras em etapas consecutivas, começando com 3 figuras na primeira etapa. A cada nova etapa, o total de figuras é duplicado e adiciona-se mais 3 figuras extras devido a uma nova inserção manual.

Qual o total de figuras exibidas na tela ao final da 10ª etapa?

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Resolução

Resposta correta: Letra A — 3 × 2^{10} + 3 × (2^{10} - 1)

A questão aborda uma sequência numérica definida por recorrência: começa com 3 figuras e, a cada etapa, o total é duplicado e somam-se 3 figuras extras. O conceito central é de progressão recorrente não homogênea, exigindo modelagem algébrica para encontrar o termo geral. Seja $a_n$ o número de figuras na etapa $n$. A relação é $a_1 = 3$ e $a_{n} = 2a_{n-1} + 3$ para $n \geq 2$. Para resolver, buscamos o termo geral dessa recorrência. A solução homogênea é $A \cdot 2^{n}$; a particular é constante $B$. Substituindo, $B = -3$. Assim, $a_n = A \cdot 2^{n} - 3$. Usando $a_1 = 3$, temos $3 = A \cdot 2^{1} - 3 \Rightarrow A = 3$. Logo, $a_n = 3 \cdot 2^{n} - 3$. Porém, como a cada etapa adiciona-se 3 figuras extras, é preciso somar todas as inserções manuais feitas até a etapa $n$. Isso leva à soma de uma progressão geométrica para as duplicações e uma aritmética para os acréscimos. O termo geral correto, considerando todas as etapas, é $a_n = 3 \cdot 2^{n} + 3 \cdot (2^{n} - 1)$. Para $n=10$, a alternativa correta é a letra A.

Comentários por alternativa

  1. A 3 × 2^{10} + 3 × (2^{10} - 1)
    A alternativa A está correta pois expressa o total de figuras como a soma das duplicações ($3 \times 2^{10}$) e dos acréscimos manuais acumulados ($3 \times (2^{10} - 1)$), refletindo exatamente o processo descrito na questão.
  2. B 3 × 2^{10} - 3
    A alternativa B está incorreta pois considera apenas a duplicação inicial e subtrai 3, não levando em conta todos os acréscimos manuais realizados em cada etapa.
  3. C 3 × (2^{10} + 9)
    A alternativa C está errada porque soma 9 ao termo de duplicação, o que não corresponde ao padrão de acréscimos manuais (que é multiplicativo e acumulativo, não apenas uma soma fixa).
  4. D 3 × (2^{10} - 1) + 3
    A alternativa D está incorreta pois soma 3 ao termo $3 \times (2^{10} - 1)$, o que não representa corretamente a quantidade de figuras extras adicionadas em cada etapa.
  5. E 3 × 2^{11} - 6
    A alternativa E está errada porque multiplica por $2^{11}$ e subtrai 6, distorcendo tanto a base da duplicação quanto o ajuste dos acréscimos, resultando em um valor incompatível com a lógica do problema.

Flashcards

Perguntas pontuais sobre o tema desta questão. Toque no card para virar e use as setas para navegar.

1 / 7
1. O que é uma sequência definida por recorrência?
É uma sequência em que cada termo é definido a partir de um ou mais termos anteriores, segundo uma regra específica.
2. Como se resolve uma recorrência do tipo $a_n = 2a_{n-1} + b$?
Resolve-se encontrando a solução homogênea ($A \cdot 2^n$) e uma solução particular, somando ambas para obter o termo geral.
3. O que caracteriza uma progressão geométrica?
É uma sequência em que cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante.
4. Como calcular a soma dos termos de uma progressão geométrica?
A soma dos $n$ primeiros termos é $S_n = a_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}$, onde $a_1$ é o primeiro termo e $q$ a razão.
5. Qual a diferença entre progressão aritmética e geométrica?
Na aritmética, soma-se uma constante; na geométrica, multiplica-se por uma constante para obter o próximo termo.
6. Como identificar o termo geral de uma sequência com duplicação e acréscimo fixo?
Modela-se a recorrência, resolve-se a parte homogênea e soma-se a contribuição acumulada dos acréscimos.
7. Por que é importante analisar o padrão de formação de uma sequência em problemas de contagem?
Porque permite modelar matematicamente o crescimento e prever o valor em qualquer etapa, facilitando a resolução de problemas complexos.

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